Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape
1)
AC=BD=√2
Tu le montres avec Pythagore dans le triangle rectangle ABC ou ADC.
2)
a)
On pose donc :
√2=a/b
On élève les 2 membres au carré qui sont tous deux positifs.
2=a²/b² qui donne : a²=2b²
qui prouve que a² est un multiple de 2 donc est pair.
b)
n²=4 donne n=2
n²=16 donne n=4
n²=25 donne n=5
Etc.
c)
Supposons que n² est pair mais que n est impair.
n impair peut s'écrire : n=2a+1 avec "a" entier car "2n" est pair donc "2a+1" est impair.
Ce qui donne :
n²=(2a+1)²=4a²+4a+1=4(a²+a)+1
4(a²+a) est pair donc "4(a²+a)+1 est impair.
Notre supposition de départ n'est pas vérifiée.
Donc n² pair implique que n est également pair.
d)
a² pair démontré en 2)a) prouve que a est pair.
Puisque "a" est pair , on peut l'écrire ainsi : a=2p qui donne :
a²=(2p)²=4p²
Mais 2=a²/b² donne : 2b²=a² soit :
2b²=4p²
b²=2p² qui prouve que b² est pair.
Mais b² pair implique que b est pair.
3)
On a donc "a" et "b" qui sont pairs.
Alors la fraction a/b est simplifiable par 2 donc n'est pas irréductible comme posé au départ.
Donc √2 n'est pas un nb rationnel donc il est irrationnel.
