Dans la suite la notation XY (X et Y étant 2 points) désigne le vecteur XY.
O étant le centre du cercle circonscrit, c'est le point d'intersection des 3 médiatrices du triangle: OA', OB' et OC'.
1- Montrons que AH= 2OA'.
On a OH=OA+OB+OC (donnée initiale) et on a AH=AO+OH
Donc AH=AO+(OA+OB+OC)=OB+OC, sachant que OC=OA'+A'C et OB=OA'+A'B; on a
donc: AH=(AO+OA)+OA'+A'B+OA'+A'C= 2OA' +(A'B+A'C)= 2 OA' sachant que
A'B+A'C=0. Car A' est le milieu de [BC].
2)On AH=2OA' donc [AH] est parallèle à [OA']; cette dernière est
perpendiculaire à [BC] (médiatrice de [BC]); donc [AH] est
perpendiculaire à [BC], c'est la hauteur issue de A.
3) Par le même raisonnement on aura BH=2OB' (OB' est médiatrice de AC,
BH et OB' sont colinéaires, donc BH est perpendiculaire à AC et H
appartient donc à la hauteur issue de B) et idem on aura CH=2OC'... H
appartient donc à la hauteur issue de C. H appartenant aux 3 hauteurs,
il est donc l'orthocentre de ABC.
4) On a AG=-2/3AA' relation (1)
a) GA= -2GA’ ?
Remplaçons AA’ dans (1) par AA’=AG+GA’ ; soit donc AG=2/3(AG+GA’) ou bien :
3AG=2AG+2GA’ soit donc : AG=2GA’ ou bien GA= -2GA’.
b) GB+GC=2GA’ ?
On a GB=GA’+A’B et GC=GA’+A’C et GB+GC= GA’+A’B + GA’+A’C
c) GA+GB+GC=0 ?
On GA= -2GA’ et GB+GC=2GA’ donc GA+GB+GC= -2GA’+ 2GA’ = 0.
5a) OH=3OG ?
On a OH=OA+OB+OC (donnée initiale), sachant que OA=OG+GA, OB=OG+GB et
OC=OG+GC. Et en remplaçant OA, OB, OC par leurs valeurs, on a :
OH= OG+GA + OG+GB + OG+GC = 3OG+ (GA+GB+GC)=3OG. cqfd.
b)O, G et H alignés ?
On OH= 3OG ; donc OH et OG sont colinéaires, comme ils ont la même
extrémité O, OH et OG appartiennent à la même droite OHG. Les 3 points
O, H et G sont alignés.
