Bonjour !
Pour cette histoire de ''mobilité'': imagine que le point M est sur un rail (ici le segment BC). Ce point peut librement glisser sur toute la longueur du rail.
|-------M-------| |--M----------| |-----------M---|
Ce point est relié à deux élastiques , fixés au sol.(ici AM et DM).
Ils s'étirent et se rétrécissent quand M bouge.
|--M-----------| |----------M--|
/\ /\
/ \ / \
/ \ / \
On remarque que si on met M juste au dessus de A(ou de D), alors on aura un triangle rectangle en A (ou D).
Voilà on a visualisé ça.
Ensuite :
Nous allons considérer que AMD est déjà rectangle, et nous allons chercher l'emplacement de M.
Pour cela, nous allons tracer virtuellement la hauteur MH. H est situé sur AD.
Il existe une propriété qui dit que: si on trace, dans un triangle rectangle, la hauteur partant du sommet de l'angle droit jusqu'à l'hypoténuse(ce que nous venons de faire)alors les deux triangles rectangles formés seront semblables à celui d'origine.
M
/|\
/ | \
/ | \
/___|_____\
A H D
Donc les triangles AMH, DMH et AMD sont semblables.
Intéressons-nous maintenant aux rectangles ABMH et DCMH.
Dans un rectangle, les côtés opposés sont égaux.
Donc AH = BM et AB = HM
HD = MC et HM = DC
Mais nous savons que AMH et DMH sont semblables, donc AH / HM = MH / HD
Cela veut donc dire que BM / DC = DC / MC
B M H M
______ ___________
| | | |
| | | |
| | | |
______ | |
A H ____________
D C
Donc ces deux rectangles donc semblables eux aussi.
D'ailleurs, comme tu peux le voir sur mes ''dessins'', j'ai considéré que BM est plus petit que MC. En fait, ce n'est pas important.
Ah ! J'oublie de préciser : on cherche maintenant BM, pour savoir à quelle distance M est de B (et donc aussi de C) pour savoir son emplacement.
Remplaçons BM par x.
Remarquons que DH = AD - AH = 10 - BM = 10 - x
On a donc x / 4 = 4 / (10 - x)
Je ne sais pas si tu connais les équations de second degré, mais vu les autres exercices de la feuille on va dire que oui.
On a donc -x² + 10x - 16 = 0.
Donc x = (-10 +- 6) / 2
Donc x est égal soit à 8, soit à 2.
Donc M est situé soit à 2 cm de B et 8 de C, soit à 8 cm de B et 2 de C.
Voilà. J'espère t'avoir aidé, je m'excuse si c'était peu clair, je ne suis qu'en troisième.
Bonne journée !
