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Salut !
U₁ = √(6+0) = √(6) et √(6) ∈ [0; 3]
On suppose qu'il existe un rang n tel que la propriété ∀n∈N, un∈[0,3] soit vraie.
On pose la fonction f(x) = √(6+x) pour x ∈ [0; 3]
La fonction f est continue et strictement croissante sur [0; 3], donc f(0) ≤ f(x) ≤ f(3)
⇔ √(6) ≤ f(x) ≤ 3
⇒ f(x) ∈ [0; 3]
Par conséquent Uₙ₊₁ ∈ [0; 3].
L'hypothèse est vraie au rang 0 et est héréditaire, donc la propriété est vraie ∀n∈N.