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On considère le quart de cercle C de rayon 1 et de centre O ci dessous. ( voir photoOn considère un point M mobile sur le quart de cercle et les points P et Q tels que OPMQ soit un rectangle.

En utilisant des considérations géométriques, déterminer les variations de la fonction A donnant l’aire du rectangle OPMQ en fonction de la valeur x= OP

Merci Davance On Considère Le Quart De Cercle C De Rayon 1 Et De Centre O Ci Dessous Voir PhotoOn Considère Un Point M Mobile Sur Le Quart De Cercle Et Les Poin class=

Sagot :

Ecto220

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape

Dans le triangle OMP rectangle en P , d'après le théorème de Pythagore, on a   OM² = OP² + MP²

donc MP² = OM² - OP² = 1 -x²

MP = √(1-x²)

Donc A(x) = x√(1-x²)

A'(x) = √(1-x²) - x²/√(1-x²) = (1-2x²)/√(1-x²)

Le signe de la dérivée ne dépend que de 1-2x², puisque le dénominateur est positif

1-2x² s'annule pour x = √2/2

donc A'(x) est positive sur [0 ;√2/2] et négative sur [√2/2 ; 1]

Donc A(x) est croissante sur [0 ; √2/2] et décroissante sur [√2/2 ; 1]

L'aire maximum de OPMQ est atteinte pour OP = √2/2

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