En reproduisant la figure aux mesures, je me suis aperçu que le triangle AEK est rectangle en K mais également le triangle ADB rectangle en D.
A partir de ces observations j'ai décidé de faire des calculs par étapes successives dans le but de parvenir en fin de comptes aux solutions demandées....
Tout d'abord j'ai établi toutes les situations de proportionnalité en référence avec le théorème de Thalès (3 points alignés A, L et C puis A, E et D ensuite A, K et B avec deux parallèles BC // KL mais aussi KE // BD)
==> Cela donne :
[tex] \frac{AD}{AE} = \frac{KL}{KE} = \frac{BC}{BD} = \frac{AC}{AL} = \frac{AB}{AK} [/tex]
Puis j'ai parfois utilisé le théorème de Pythagore puisque nous sommes en présence de triangles rectangles... (carré de l'hypoténuse = somme des carrés des deux autres côtés)
Proposition de résolution :
1) Pythagore
AL² = EL² + AE²
AL² = 1,5² + 3,5²
AL² = 2,25 + 12,25
AL² = 14,5
AL = [tex] \sqrt{14,5} [/tex]
AL mesure 3,81 cm
2) Thalès
[tex] \frac{AD}{AE} = \frac{AC}{AL} = \frac{5,5}{3,5} = \frac{AC}{3,81}[/tex]
d'où [tex] AC = \frac{5,5 * 3,81}{3,5} = 5,99[/tex] cm
La mesure de AC est de 5,99 cm.
3) Pythagore
AC² = CD² + AD²
5,99² = CD² + 5,5²
35,88 = CD² + 30,25
35,88 - 30,25 = CD²
5,63 = CD²
[tex] \sqrt{5,63}[/tex] = CD
2,37 = CD
CD mesure 2,37 cm.
4) Pythagore
AK² = AE² + KE²
AK² = 3,5² + 5²
AK² = 12,25 + 25
AK² = 37,25
AK = [tex] \sqrt{37,25} [/tex]
AK = 6,10 cm
AK mesure 6,10 cm.
5) Thalès
[tex] \frac{AD}{AE} = \frac{AB}{AK} = \frac{5,5}{3,5} = \frac{AB}{6,1}[/tex]
[tex]AB = \frac{5,5*6,1}{3,5} [/tex] = 9,58 cm
AB mesure 9,58 cm
6) Pythagore
AB² = AD² + BD²
9,58² = 5,5² + BD²
91,7764 = 30,25 + BD²
91,7764 - 30,25 = BD²
61,5264 = BD²
[tex] \sqrt{61,5264} [/tex] = BD
7,84 = BD
La mesure de BD est de 7,84 cm.
Conclusion :
Mesure de BC est de 10,21 cm (BC = BD+DC= 7,84 + 2,37 = 10,21 cm)
et la mesure de CD est de 2,37 cm.
