Bonjour,
1)On utilise la réciproque du théorème de Pythagore dans le triangle AOB.
[tex]OB^2 = 6^2 = 36\\
AB^2+AO^2 = 3{,}6^2+4{,}8^2 = 36 = OB^2[/tex]
Dans le triangle AOB, on a OB² = AO²+AB², donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore, AOB est rectangle en A.
2)Appliquons la réciproque du théorème de Thalès.
Tout d'abord, on vérifie que les rapports OA/OC et OB/OD sont égaux en calculant les produits en croix.
[tex]OA\times OD = 4{,}8\times 7{,}5 = 36\\
OB\times OC = 6\times 6 = 36 = OA\times OD[/tex]
On a égalité des rapports.
Les droites (AC) et (BD) se coupent en O ; les points B, O, D et A, O, C sont alignés dans cet ordre et on a OA/OC = OB/OD. D'après la réciproque du théorème de Thalès, (AB)//(CD).
3)Comme le triangle AOB est rectangle en A, on a :
[tex]\cos \widehat{AOB} = \frac{AO}{OB} = \frac{4{,}8}{6} = \frac 45\\
\widehat{AOB} \approx 37\char23[/tex]
Arrondi au degré.
4)Le triangle OCE est inscrit dans le cercle de diamètre [OC]. Or, si un triangle a un de ses côtés comme diamètre de son cercle circonscrit, alors il est rectangle, donc OCE est rectangle en E.
Commençons par calculer CD en utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle OCD.
[tex]CD^2 = OD^2-OC^2 = 7{,}5^2-6^2 = 20{,}25\text{ cm}\\
CD = \sqrt{20{,}25} = 4{,}5\text{ cm}[/tex]
Comme OCD est rectangle en C, on a
[tex]\sin\widehat{COD} = \frac{CD}{OD}[/tex]
Comme OCE est rectangle en C, on a
[tex]\sin\widehat{COD} =\frac{CE}{OC}[/tex]
D'où
[tex]\frac{CE}{OC} = \frac{CD}{OD}\\
CE = OC\times \frac{CD}{OD} = 6\times \frac{4{,}5}{7{,}5} = 3{,}6\text{ cm}[/tex]
Si tu as des questions, n'hésite pas ! =)
