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Sagot :
ABC est un triangle
Les points M,N,P sont situer respectivement sur les droites (AB) (BC) et (CA)
on pose: vecteur AM=xAB; vecteur BN=yBC; vectuer CP=zCA
En travaillant dans le repere (A,B,C) demontrer que les points M,N et P sont alignes si et seulement si : xyz=(x-1)(y-1)(z-1)
M,N,P sont alignés si N ∈ (MP)
dans le repère (A,AB,AC) on a : A(0;0) , B(1;0) , C(0;1 )
AM=xAB donc M(x;0)
BN=yBC donc N(1-y;1)
CP=zCA donc P(0;1-z)
la droite (MP) a pour équation Y=mX+p
m=(1-z)/(-x)=(z-1)/x
p=1-z
donc (MP) : Y=(z-1)/x*X+1-z
N ∈ (MP) équivaut à 1=(z-1)/x*(1-y)+1-z
donc 1=(z-1)(1-y)/x+(1-z)
donc x=(z-1)(1-y)+(1-z)x
donc x=(z-1)(1-y-x)
donc xyz=(z-1)(1-y-x)yz
donc xyz=(x-1)(y-1)(z-1)
Les points M,N,P sont situer respectivement sur les droites (AB) (BC) et (CA)
on pose: vecteur AM=xAB; vecteur BN=yBC; vectuer CP=zCA
En travaillant dans le repere (A,B,C) demontrer que les points M,N et P sont alignes si et seulement si : xyz=(x-1)(y-1)(z-1)
M,N,P sont alignés si N ∈ (MP)
dans le repère (A,AB,AC) on a : A(0;0) , B(1;0) , C(0;1 )
AM=xAB donc M(x;0)
BN=yBC donc N(1-y;1)
CP=zCA donc P(0;1-z)
la droite (MP) a pour équation Y=mX+p
m=(1-z)/(-x)=(z-1)/x
p=1-z
donc (MP) : Y=(z-1)/x*X+1-z
N ∈ (MP) équivaut à 1=(z-1)/x*(1-y)+1-z
donc 1=(z-1)(1-y)/x+(1-z)
donc x=(z-1)(1-y)+(1-z)x
donc x=(z-1)(1-y-x)
donc xyz=(z-1)(1-y-x)yz
donc xyz=(x-1)(y-1)(z-1)
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