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Sagot :
Réponse :
a) f(√2+1) = (5 + 3√2)/7
b) x = 3√3 + 4
Explications étape par étape
Bonsoir
On donne la fonction f definie par f(x)=2x+1/x+2 a) Calculer l'image de √2+1
f(√2+1) = (2 * (√2+1) + 1)/(√2+1 + 2)
f(√2+1) = (2√2 + 2 + 1)/(√2 + 3)
f(√2+1) = (2√2 + 3)/(√2 + 3)
f(√2+1) = (2√2 + 3)(√2 - 3) / (√2 + 3)(√2 - 3)
f(√2+1) = (4 - 6√2 + 3√2 - 9) / (2 - 9)
f(√2+1) = (-5 - 3√2)/(-7)
f(√2+1) = (5 + 3√2)/7
b) Trouver l'antécédent de √3 :
2x+1/x+2 = √3
On a le dénominateur qui ne peut pas être nul donc :
[tex]x + 2 \ne 0[/tex]
[tex]x \ne -2[/tex]
2x + 1 = √3(x + 2)
2x + 1 = x√3 + 2√3
2x - x√3 = 2√3 - 1
x(2 - √3) = 2√3 - 1
x = (2√3 - 1)/(2 - √3)
x = (2√3 - 1)(2 + √3) / (2 - √3)(2 + √3)
x = (4√3 + 6 - 2 - √3) / (4 - 3)
x = (3√3 + 4) / 1
x = 3√3 + 4
Bonsoir ! ;)
Réponse :
a) Pour calculer l'image de " [tex]\sqrt{2} +1[/tex] " par f, il te suffit de remplacer dans l'expression " f (x) = [tex]\frac{2x+1}{x+2}[/tex] ", le " x " par " [tex]\sqrt{2} +1[/tex] " !
f (x) = [tex]\frac{2x+1}{x+2}[/tex]
donc f ( [tex]\sqrt{2} +1[/tex] ) = [tex]\frac{2*(\sqrt{2} +1)+1}{(\sqrt{2}+1)+2 }[/tex]
⇒ f ( [tex]\sqrt{2} +1[/tex] ) = [tex]\frac{2*\sqrt{2} +2*1+1}{\sqrt{2}+3 }[/tex]
⇒ f ( [tex]\sqrt{2} +1[/tex] ) = [tex]\frac{2\sqrt{2} +2+1}{\sqrt{2}+3 }[/tex]
⇒ f ( [tex]\sqrt{2} +1[/tex] ) = [tex]\frac{2\sqrt{2} +3}{\sqrt{2}+3 }[/tex]
( tu vas maintenant multiplier le numérateur et le dénominateur par la quantité conjuguée de " [tex]\sqrt{2} +3[/tex] ", c'est-à -dire " [tex]\sqrt{2} -3[/tex] " ! )
⇒ f ( [tex]\sqrt{2} +1[/tex] ) = [tex]\frac{(2\sqrt{2} +3)(\sqrt{2}-3 )}{(\sqrt{2}+3)(\sqrt{2}-3 ) }[/tex]
( rappel : (a + b) (a - b) = a² - b² ! )
⇒ f ( [tex]\sqrt{2} +1[/tex] ) = [tex]\frac{2\sqrt{2} *\sqrt{2} +2\sqrt{2} *(-3)+3*\sqrt{2}+3*(-3) }{(\sqrt{2})^2-3^2 }[/tex]
⇒ f ( [tex]\sqrt{2} +1[/tex] ) = [tex]\frac{2*(\sqrt{2} )^2-6\sqrt{2} +3\sqrt{2}-9 }{2-9 }[/tex]
⇒ f ( [tex]\sqrt{2} +1[/tex] ) = [tex]\frac{2*2-6\sqrt{2} +3\sqrt{2}-9 }{2-9 }[/tex]
⇒ f ( [tex]\sqrt{2} +1[/tex] ) = [tex]\frac{4-6\sqrt{2} +3\sqrt{2}-9 }{2-9 }[/tex]
⇒ f ( [tex]\sqrt{2} +1[/tex] ) = [tex]\frac{-5-3\sqrt{2} }{2-9 }[/tex]
⇔ f ( [tex]\sqrt{2} +1[/tex] ) = [tex]\frac{5+3\sqrt{2} }{7 }[/tex]
L'image de [tex]\sqrt{2} +1[/tex] par f est donc [tex]\frac{5+3\sqrt{2} }{7 }[/tex] !
b) Pour calculer l'antécédent de [tex]\sqrt{3}[/tex] par f, il te suffit de résoudre l'équation : [tex]\frac{2x+1}{x+2}[/tex] = [tex]\sqrt{3}[/tex] !
[tex]\frac{2x+1}{x+2}[/tex] = [tex]\sqrt{3}[/tex]
⇔ 2x + 1 = [tex]\sqrt{3}[/tex] * (x + 2)
⇒ 2x + 1 = [tex]\sqrt{3}[/tex] * x + [tex]\sqrt{3}[/tex] * 2
⇒ 2x + 1 = [tex]\sqrt{3}x[/tex] + 2[tex]\sqrt{3}[/tex]
⇒ 2x - [tex]\sqrt{3}x[/tex] = 2[tex]\sqrt{3}[/tex] - 1
⇒ (2 - [tex]\sqrt{3}[/tex])x = 2[tex]\sqrt{3}[/tex] - 1
⇒ x = [tex]\frac{2\sqrt{3}-1 }{2-\sqrt{3} }[/tex]
( tu vas maintenant multiplier le numérateur et le dénominateur par la quantité conjuguée de " [tex]2-\sqrt{3}[/tex] ", c'est-à -dire " [tex]2+\sqrt{3}[/tex] " ! )
⇒ x = [tex]\frac{(2\sqrt{3}-1)(2+\sqrt{3}) }{(2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3} ) }[/tex]
( rappel : (a - b) (a + b) = a² - b² ! )
⇒ x = [tex]\frac{2\sqrt{3}*2+2\sqrt{3}*\sqrt{3} -1*2-1*\sqrt{3} }{2^2-(\sqrt{3})^2 }[/tex]
⇒ x = [tex]\frac{4\sqrt{3}+2(\sqrt{3})^2 -2-1\sqrt{3} }{4-3 }[/tex]
⇒ x = [tex]\frac{4\sqrt{3}+2*3 -2-1\sqrt{3} }{4-3 }[/tex]
⇒ x = [tex]\frac{4\sqrt{3}+6 -2-1\sqrt{3} }{4-3 }[/tex]
⇒ x = [tex]\frac{4+3\sqrt{3} }{1 }[/tex]
⇔ x = 4 + 3[tex]\sqrt{3}[/tex]
L'antécédent de [tex]\sqrt{3}[/tex] par f est donc 4 + 3[tex]\sqrt{3}[/tex] !
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