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on a quatre perches de bois de 5 m le long avec lesquelles on veut former
une pyramide.
SA = SB = SC = SD = 5
Le volume d'une pyramide est
V = (1/3) x aire base x hauteur
on veut évaluer le volume de la pyramide en fonction de la hauteur h
Pour cela il faut calculer l'aire de la base en fonction de h
(voir figure)
a) le triangle SHC est rectangle en H
SH² + HC² = SC²
h² + HC² = 5² (d'après Pythagore)
HC² = 25 - h²
b) la base est un carré, les diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu.
le triangle CHD est rectangle en H et isocèle HD = HC
CH² + HD² = DC² (Pythagore)
2CH² = DC²
DC² = 2(25 - h²)
DC² carré de la mesure d'un côté de la base est l'aire de cette base
aire base : 2(25 - h²)
Volume de la pyramide
V(h) = (1/3) x 2(25 - h²) x h
= (2/3)(25h - h³)
variations de V(h)
V'(h) = (2/3)(25 - 3h²) (on factorise 25 - 3h²)
= (2/3) (5 - h√3)(5 + h√3)
( remarque 0 < h < 5)
h 0 5/√3 5
5 - h√3 + 0 -
5 + h√3 + +
signe V'(h) + -
V(h) / ∖
le volume admet un maximum pour h = 5/√3 ( ou 5√3/3)
soit pour une hauteur h d'environ 2,9 m
