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Bonjour,
Je vais le démontrer en utilisant la forme canonique d'un polynôme:
Soit a, b et c des réels strictement positifs, on pose P(x) = ax² + bx + c définie pour tout x appartenant à R.
Or, on peut écrire le polynôme P sous sa forme canonique:
[tex]P(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta[/tex], avec [tex]\alpha = -\frac{b}{2a}[/tex] et [tex]\beta = P(\alpha)[/tex].
On a donc:
[tex]P(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + a\left(-\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{b^2}{2a} + c[/tex]
[tex]P(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{ab^2}{2a^2} - \frac{b^2}{2a} + c[/tex]
[tex]P(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + \frac{b^2}{2a} - \frac{b^2}{2a} + c[/tex]
[tex]P(x) = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c[/tex]
Et ce résultat est strictement positif pour tout x appartenant à R car a et c sont des réels strictement positifs. On remarque aussi que le signe de b n'a pas d'importance car il est dans le carré et un carré est toujours positif.
Bonne journée,
Thomas