Les longueurs sont en centimètres.
Sur la figure ci-contre, on donne :
RF = [tex] \sqrt{243} = \sqrt{3*81} = 9 \sqrt{3} [/tex] cm;
FC = [tex] \sqrt{75} = \sqrt{3*25} = 5 \sqrt{3} [/tex] cm;
EF = [tex] \sqrt{432} = \sqrt{3*144} = 12\sqrt{3} [/tex] cm;
On calcule :
RC = RF + FC
RC = [tex] \sqrt{243} + \sqrt{75}
[/tex]
RC = [tex]14 \sqrt{3} [/tex] cm
1) Montrer que :
ER =[tex] 15\sqrt{3} [/tex]
ER² = RF² + EF²
ER² = [tex](9\sqrt{3})^{2} + (12\sqrt{3})^{2} [/tex]
ER² = (9²×3) + (12²×3)
ER² = 81×3 + 144×3)
ER² = 243 + 432
ER = [tex] \sqrt{243+432} [/tex]
ER = [tex] \sqrt{675} [/tex]
Or [tex] \sqrt{675} = \sqrt{3*225} = 15 \sqrt{3} [/tex]
La mesure de ER est [tex]15 \sqrt{3} [/tex] cm
Montrer que :
CE = [tex]13 \sqrt{3} [/tex]
CE² = EF² + FC²
CE² = [tex](12 \sqrt{3})^{2} + (5 \sqrt{3})^{2} [/tex]
CE² = [tex](12^{2}*3) + (5^{2}* 3)[/tex]
CE² = 144*3 + 25*3
CE² = 432 + 75
CE = 507
CE = [tex] \sqrt{507} [/tex]
Or [tex] \sqrt{3*169} [/tex] = [tex]13 \sqrt{3} [/tex]
La mesure de CE est [tex]13 \sqrt{3} [/tex] cm
2) Calculer le périmètre du triangle CER.
(Donner le résultat sous la forme [tex]a \sqrt{b} [/tex] où a et b sont des nombres entiers, b étant le plus petit possible.)
Périmètre de CER = RC + CE + ER
P = [tex]14 \sqrt{3} + 13 \sqrt{3} + 15 \sqrt{3} [/tex] = [tex]42 \sqrt{3} [/tex]
Le périmètre de CER est [tex]42 \sqrt{3} [/tex] cm
3) Calculer l'aire du triangle CER.
Aire d'un triangle = (Base × hauteur) / 2
Aire de CER = (RC × EF) / 2
Aire de CER = [tex](14 \sqrt{3}[/tex] × [tex]12 \sqrt{3}) [/tex] / 2
Aire de CER = [tex] \frac{168 \sqrt{3} }{2} = 84 \sqrt{3} [/tex]
L'aire du triangle CER est de [tex]84 \sqrt{3} [/tex] cm²
4) Le triangle CER est-il rectangle ? Justifier.
Avec la réciproque de Pythagorre je vérifie si le carré de l'hypoténuse est égale au carré de la somme des deux autres côtés
RC² = RE² + EC²
[tex](14 \sqrt{3})^{2} = (15 \sqrt{3})^{2} + (13 \sqrt{3})^{2} [/tex]
[tex]14^{2} (\sqrt{3})^{2} = 15^{2} (\sqrt{3})^{2} + 13^{2}(\sqrt{3})^{2} [/tex]
[tex]193*3 = 225*3 + 169*3[/tex]
[tex]579 = 675 + 507[/tex]
[tex] \sqrt{579} = \sqrt{1182} [/tex]
Le triangle CER n'est pas rectangle car l'égalité n'est pas prouvée
car RC² ≠ RE²+EC²
