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Coraline33
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URGENT ! 

Afin d'orienter ses investissements, une chaine d'hotels réalise une analyse sur le bénéfice B(x), en euros, par hotel, en fonction du taux d'occupation des chambres x exprimés en %. 
Pour x appartenent à [20.90],une étude a montrée que B est une fonction du second degré définie par:
B (x)=-x²+160x+c

1. Pour un taux d'occupation de 40%, le bénéf. est de 900€, trouver B(x).
2. Trouver 2 taux d'occupation qui donnent le meme bénéfice.
3. a) En déduire, en justifiant, la valeur du tx d'occupation qui donne le bénéf. maximal.
b) Quel est ce bénéf. Maximal ?
4.Expliquer et apliquer une méthode permettant de trouver les valeurs du tx d'occupation qui assurent un bénéf. supérieur ou égal à 2100€.

 

Sagot :

1) B(x)=-x²+160x+c
Or B(40)=900 donc -(40)²+160*40+c=900 ⇔ -1600+6400+c=900 ⇔c=-3900
Donc B(x)=-x²+160x-3900

2) B(70)=-70²+160*70-3900=2400
B(90)=-90²+160*90-3900=2400

3a) Une parabole a un axe de symétrie vertical passant par son sommet. On sait que x=70 et x=90 sont symétrique par rapport à cet axe.
Donc l'axe de symétrie passe par (70+90)/2=80.
Le taux d'occupation est maximal pour x=80

3b) B(80)=-80²+160*80-3900=2500

4) On veut que B(x)>2100
Soit -x²+160x-3900>2100
⇔x²-160x+3900<-2100
⇔x²-160x+6000<0
On cherche la forme canonique de x²-160x+6000
x²-160x+6000=x²-2*80*x+80²-80²+6000
x²-160x+6000=(x-80)²-400
C'est de la forme a²-b² donc
x²-160x+6000=(x-80)²-20²=(x-80+20)(x-80-20)=(x-60)(x-100)
Il faut donc que (x-60)(x-100)<0
Comme x∈[20;90], x-100 est toujours négatif. Il faut donc que x-60 soit positif.
On en déduit que :
B(x)>2100 ⇔ x>60
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