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Ninise
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Bonjour, j’ai un problème avec mon exercice de math
pouvez-vous m’aidez svp ?

 ( c’est sur les produit scalaire) j'ai réussi la question 1) a) et b) mais je bloque sur la 2

Voici l’énoncer : ABCD est un rectangle tel que AD= 3
et AB=5.

H et K sont les projetés orthogonaux respectifs des point B
et D sur la diagonal (AC).



1)a) Calculer le produit scalaire AC.DB

b) En déduire la longueur HK


2) Peut-on trouver un rectangle tel que HK = 1/2 AC ?

                  

Merci d’avance pour votre aide

Sagot :

Bonsoir,

1)a) [tex]\vec{AC}.\vec{DB}=(\vec{AB}+\vec{BC}).(\vec{DC}+\vec{CB})\\\\\vec{AC}.\vec{DB}=\vec{AB}.\vec{DC}+\vec{AB}.\vec{CB}+\vec{BC}.\vec{DC}+\vec{BC}.\vec{CB}\\\\\vec{AC}.\vec{DB}=AB^2+0+0-BC^2\\\\\vec{AC}.\vec{DB}=25+0+0-9\\\\\boxed{\vec{AC}.\vec{DB}=16}[/tex]

b) Par Pythagore dans le triangle ABC,
AC² = AB² + BC²
AC² = 25 + 9
AC² = 34
AC = √34.

[tex]\vec{AC}.\vec{DB}=\vec{AC}.(\vec{DK}+\vec{KH}+\vec{HB})\\\\\vec{AC}.\vec{DB}=\vec{AC}.\vec{DK}+\vec{AC}.\vec{KH}+\vec{AC}.\vec{HB}\\\\\vec{AC}.\vec{DB}=0 +AC\times KH+0\\\\\vec{AC}.\vec{DB}=AC\times KH \\\\\vec{AC}.\vec{DB}=AC\times HK[/tex]

On en déduit que [tex]AC \times HK = 16\\\\HK=\dfrac{16}{AC}\\\\\boxed{HK=\dfrac{16}{\sqrt{34}}}[/tex]


3) [tex]\vec{AC}.\vec{DB}=\vec{AC}.(\vec{DA}+\vec{AB})\\\\\vec{AC}.\vec{DB}=\vec{AC}.\vec{DA}+\vec{AC}.\vec{AB}\\\\\vec{AC}.\vec{DB}=\vec{AD}.\vec{DA}+\vec{AB}.\vec{AB}\\\\\vec{AC}.\vec{DB}=-AD^2+AB^2[/tex]

Nous savons également que  [tex]\vec{AC}.\vec{DB}=AC\times HK[/tex]

D'où -AD² + AB² = AC x HK

Si HK = (1/2) AC, alors -AD² + AB² = AC x (1/2) AC
-AD² + AB² = (1/2) AC²
-AD² + AB² = (1/2) (AB² + AD²)   (par Pythagore dans le triangle rectangle ABC)
-AD² + AB² = (1/2) AB² + (1/2) AD²
AB² - (1/2) AB² = (1/2) AD² + AD²
(2/2) AB² - (1/2) AB² = (1/2) AD² + (2/2) AD²
(1/2) AB² = (3/2) AD²
AB² = 3 AD²
[tex]AB = \sqrt{3}\times AD[/tex]

Nous pouvons donc trouver un rectangle ABCD tel que HK = 1/2 AC.
Il suffit que choisir AB et AD tels que [tex]AB = \sqrt{3}\times AD[/tex]
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