Bonsoir,
Figure en pièce jointe.
Si le sommet de la parabole admet comme coordonnées (0 ; 4,5), alors la parabole admettra une équation de la forme : y = ax² + 4,5.
Les points d'intersection de cette parabole avec l'axe des abscisses ont comme coordonnées (-2,8 ; 0) et (2,8 ; 0)
Déterminons la valeur de a en remplaçant x par 2,8 et y par 0.
[tex]a\times2,8^2+4,5=0\\7,84\ a + 4,5 = 0\\7,84\ a=-4,5\\\\a=\dfrac{-4,5}{7,84}=\dfrac{-450}{784}\\\\a=\dfrac{-225}{392}[/tex]
D'où l'équation de la parabole est : [tex]y=\dfrac{-225}{392}x^2+4,5[/tex]
Afin d'éviter que la tête du touriste ne heurte la voûte, il faut trouver les valeurs de x telles que [tex]\dfrac{-225}{392}x^2+4,5<1,9[/tex]
Résolvons cette inéquation.
[tex]\dfrac{-225}{392}x^2+4,5>1,9\\\\\dfrac{-225}{392}x^2+4,5-1,9>0\\\\\dfrac{-225}{392}x^2+2,6>0\\\\\dfrac{-225}{392}x^2+\dfrac{1019,2}{392}>0\\\\-225x^2+1019,2>0[/tex]
Tableau de signes.
Racines :
[tex]-225x^2+1019,2=0\\-225x^2=-1019,2\\225x^2=1019,2\\\\x^2=\dfrac{1019,2}{225}\\\\x=\sqrt\dfrac{1019,2}{225}}\ \ ou\ \ x=-\sqrt\dfrac{1019,2}{225}}\\\\x=\dfrac{\sqrt{1019,2}}{15}}\ \ ou\ \ x=-\dfrac{\sqrt{1019,2}}{15}}[/tex]
[tex]\begin{array}{|c|ccccccc||}x&-2,8&&-\dfrac{\sqrt{1019,2}}{15}}&&\dfrac{\sqrt{1019,2}}{15}}&&2,8\\ -225x^2+1019,2&&-&0&+&0&-& \\\end{array}\\\\\\-225x^2+1019,2>0\Longleftrightarrow x\in]-\dfrac{\sqrt{1019,2}}{15}};\dfrac{\sqrt{1019,2}}{15}}[[/tex]
Arrondissons : [tex]\dfrac{\sqrt{1019,2}}{15}}\approx2,1[/tex]
D'où -2,1 < x < 2,1.
Or les pieds de voûte correspondent à x = -2,8 et -2,8.
Le touriste ne peut donc pas de trouver à une distance inférieure à 2,8 - 2,1 = 0,7 m des pieds de la voûte.
Afin d'éviter que la tête du touriste ne heurte la voûte, il doit se situer à une distance du pied de la voûte allant de 0,70 m à 4,9 m
