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Exercice fonction
Soit la fonction f definie sur l'ensemble des réels: F(x)= {x                si x inférieur ou égale à 1
                                                                                          2x-1          si x supérieur à 1
La fonction f est-elle différentiable en x0=1 ?
Si oui, trouvez la dérivée de f en x0=1
Merci

Sagot :

Bonsoir,

[tex]f(x)=\left\{\begin{matrix}x\ \ si\ \ x\le1\\2x-1\ \ si\ \ x\ >1\end{matrix}\right.[/tex]

[tex]\lim\limits_{x\to1,x<1}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}\\\\ =\lim\limits_{x\to1,x<1}\dfrac{x-1}{x-1}\\\\=\lim\limits_{x\to1,x<1}1\\\\=1[/tex]

**********************************

[tex]\\\\\lim\limits_{x\to1,x>1}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim\limits_{x\to1,x>1}\dfrac{(2x-1)-1}{x-1}\\\\=\lim\limits_{x\to1,x>1}\dfrac{2x-2}{x-1}\\\\=\lim\limits_{x\to1,x>1}\dfrac{2(x-1)}{x-1}\\\\=\lim\limits_{x\to1,x>1}2\\\\=2[/tex]

**********************************

D'où,

[tex]\lim\limits_{x\to1,x<1}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}\neq\lim\limits_{x\to1,x>1}\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}[/tex]

Par conséquent, la fonction f n'est pas dérivable en 1.

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