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Lila260804
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Bonjour ,je suis en 1ère. pourriez vous m'aidez à cette exercice de mathématique car je n'ai pas compris merci beaucoup d'avance .

On considère la fonction f définie sur R* et la fonction g définie sur R par :
F(x) =
[tex] \frac{5x + 4}{4x} [/tex]
et g(0) =
[tex] {x}^{2} + x + \frac{1}{4} [/tex]
On note Cf et 6, les courbes représentatives respectives des fonctions f et g.
1. Démontrer que, pour tout réel non nul x, g(x) – f(x) =
[tex] \frac{(x - 1)(x + 1)^{2} }{x} [/tex]
2. En déduire les abscisses des points d'intersection des courbes Cf et Cg puis la position relative des
deux courbes.
3. Démontrer que les courbes Cf et C, admettent la même tangente au point A d'abscisse -1.
Indice : Déterminer l'équation de la tangente à chaque courbe au point d'abscisse -1. On dit alors
que les courbes sont tangentes en -1.
.​

Sagot :

Réponse :

f(x) = (5 x + 4)/4 x   définie sur R*

g(x) = x² + x + 1/4

1) démontrer que, pour tout réel non nul,  g(x) - f(x) = (x - 1)(x + 1)²/x

 g(x) - f(x) = x² + x + 1/4  - (5 x + 4)/4 x

                = [4 x(x² + x + 1/4) - (5 x + 4)]/4 x

                = (4 x³ + 4 x² + x  - 5 x - 4)/4 x

                = (4 x³ + 4 x² - 4 x - 4)/4 x

                = 4(x³ + x² - x - 1)/4 x

                = (x³ + x² - x - 1)/x

pour  x = 1   ⇒ 1 + 1 - 1 - 1 = 0    donc  1 est une solution de l'équation

             x³ + x² - x - 1 = (x - 1)(a x² + b x + c) = a x³ + b x² + c x - a x² - b x - c

= a x³ + (b - a) x² + (c - b) x - c

a = 1

- c = - 1  ⇒ c = 1

b-a = 1 ⇒ b = 1 + a = 1 + 1 = 2

donc  (x - 1)(x² + 2 x + 1) = (x - 1)(x + 1)²

donc  g(x) - f(x) =  (x - 1)(x + 1)²/x

2) en déduire les abscisses des points d'intersection des courbes Cf et Cg

  g(x) - f(x) = 0  ⇔  (x - 1)(x + 1)²/x = 0  ⇔  (x - 1)(x + 1)² = 0  

⇔ x - 1 = 0  ⇔ x = 1  ou  x + 1 = 0  ⇔ x = - 1  (racine double)

les abscisses des points d'intersection de Cf et Cg sont  - 1 et 1

3) démontrer que les courbes Cf et Cg admettent la même tangente au point A d'abscisse - 1

f '(x) = (5(4 x) - 4(5 x + 4))/16 x²

       = (20 x - 20 x - 16)/16 x²

        = - 1/x²

f '(- 1) = - 1

f(- 1) = (5*(-1) + 4)/4(-1) = - 1/- 4 = 1/4

l'équation de la tangente T à Cf  au point A d'abscisse - 1 est :

           y = 1/4 - (x + 1) = - x - 1 + 1/4 = - x - 3/4

g '(x) = 2 x + 1

g '(-1) = - 2 + 1 = - 1

g(-1) = 1 - 1 + 1/4 = 1/4

l'équation de la tangente à la courbe Cg au point A d'abscisse - 1 est :

        y = 1/4 - (x + 1) = - x - 3/4

donc les courbes Cf et Cg ont la même tangente au point A d'abscisse - 1        

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