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Bonjour/ Bonsoir je suis en troisième et j'ai besoin d'aide pour un exercice. 

Un octogone régulier ABCDEFGH  inscrit dans un cercle de centre O a pour périmétre 24 cm. On appele P le pied de la hauteur issu de O dans le triangle AOB.
a. En considérant le triangle AOB, determine la mesure exacte des angles AOP et OAP. Quelles sont les mesures des angles de l'octogones ABCDEFGH
b. Pourve que la la longueur OP exprimée en cm vaut 1.5/tan 22.5
c.Calcule la valeur exacte de l'aire de l'octogone ABCDEFGH puis arrondi au cm²

A ) Un octogone régulier a 8 côtes de égaux donc 8 angles au centre interceptent les côtés égaux donc 360/8 = 45° donc ABO = 45°

P est la hauteur et coupe AB en son mileu. P est une demi-droite qui coupe un angle en deux angles égaux don la bissectrice de AOB donc ABO =45/2= 22,5

Et le reste je n'y arrive pas :) Merci de votre aide c'est assez urgent c'est pour demain... 

Sagot :

A) Attention AOB=45° (et non ABO) et AOP=BOP=22,5°
AOB est isocèle en O donc les angles en A et B sont égaux et :
AOB+OBA+BAO=180 avec OBA=BAO donc 2*BAO=180-45=135
Donc OBA=BAO=67,5°
On en déduit que les angles de 2 côtés consécutifs de l'octogone font 135°

B) Dans le triangle AOP :
TanAOP=CotéOpposé/CoteAdjacent=AP/OP
Donc OP=AP/tanAOP
Le périmètre de l'octogone fait 24 donc un côté fait 24/8=3
Donc AB=3 et comme P est le milieu de AB, AP=AB/2=3/2=1,5
Donc OP=1,5/tan22,5

L'aire de AOB = 1/2*AB*OP=1/2*3*1,5/tan22,5=1/2*4,5/tan22,5
Donc l'aire de ABCDEFGH=8*Aire de AOB=8*1/2*4,5/tan22,5
AireABCDEFGH=4*4.5/tan22,5=18/tan22,5
AireABCDEFGH≈43 cm²


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