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Judeclaire
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DEVOIR DE MATHS !!!

Soit g la fonction définie [-2;1] par g(x)= (1-x)(x+1)²

1. Vérifier que g(x)= -x^3 - x² + x +1.
2. Déterminer la dérivée de g' de g.
3. En déduire les variations de g sur [-2;1]
4. En fait, la fonction g est l'une des quatre fonctions f1, f2, f3 ou f4 de la partie A. Quelle est cette fonction ? Justifier.

Sagot :

1) g(x)=(1-x)(x+1)²
g(x)=(1-x)(x²+2x+1)
g(x)=x²+2x+1-x³-2x²-x
g(x)=-x³-x²+x+1

2) g'(x)=-3x²-2x+1

3) g'(x)=-4x²+x²-2x+1
g'(x)=(x-1)²-4x²
g'(x)=(3x-1)(-x-1)
g'(x)=(x+1)(1-3x)

x+1≤0 sur [-2;-1] et x+1≥0 sur [-1;1]
1-3x≥0 sur [-2;1/3] et 1-3x≤0 sur [1/3;1]
Donc
(x+1)(1-3x)≤0 sur [-2;-1]
(x+1)(1-3x)≥0 sur [-1;1/3]
(x+1)(1-3x)≤0 sur [1/3;1]
Donc g est décroissante sur [-2;-1]
g est croissante sur [-1;1/3]
g est décroissante [1/3;1]
[tex](1-x)(x+1)^2 \\ =(1-x)(x^2+2x+1) \\ =x^2+2x+1-x^3-2x^2-x \\ \boxed{=-x^3-x^2+x+1 \\ =g(x)} [/tex]
__________________________________________________________________

[tex]g'(x)=-3x^2-2x+1[/tex]
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g'(x)= [tex]=-4x^2+x^2-2x+1\\=-4x^2+(x-1)^2\\=(x+1)(1-3x) [/tex]
__________________________________________________________________

[tex]x+1 \leq 0 ->[-2;-1] \\ x+1 \geq 0 -> [-1;1]\\ \\ 1-3x \geq 0 -> [-2; \frac{1}{3} ] \\ 1-3x \leq 0 -> [ \frac{1}{3} ;1] [/tex]


Conclusion : 
On a : 
- g décroissante sur [-2 ; -1]
- g croissante sur [-1 ; [tex] \frac{1}{3} [/tex]]
- g décroissante [[tex] \frac{1}{3} [/tex] ; 1]
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