Exercice 1 :
Soient x et y ∈ R tels que
5x²+y²+4≥4x+4xy
⇔4x²+x²+y²+4-4x-4xy≥0
⇔4x²-4xy+y²+x²-4x+4≥0
⇔(2x-y)²+(x-2)²≥0
C'est toujours vrai donc quelque soit x et y réels on a :
5x²+y²+4≥4x+4xy
Exercice 2 :
Soient a, b, c et d ∈ IR+* tels que a+b+c+d=1
On a nécessairement (a-b)²≥0
⇔a²-2ab+b²≥0
⇔a²+2ab-4ab+b²≥0
⇔(a+b)²-4ab≥0
⇔(a+b)²≥4ab
⇔a+b≥2√ab car la fonction racine est croissante et a+b≥0
⇔1/(a+b)≤1/(2√ab)
⇔2/(a+b)≤1/√ab
On démontre de la même façon que :
2/(c+d)≤1/√cd
En additionnant les 2 inégalités on a :
2/(a+b)+2/(c+d)≤1/√ab+1/√cd
Or 2/(a+b)+2/(c+d)=(2(a+b)+2(c+d))/((a+b)(c+d))
=2(a+b+c+d)/((a+b)(c+d))=2/((a+b)(c+d))
Donc :
[tex] \frac{2}{(a+b)(c+d)} \leq \frac{1}{ \sqrt{ab}}+ \frac{1}{ \sqrt{cd}} [/tex]
Exercice 3
1.
[tex](\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})=\sqrt{n+1}^{2}-\sqrt{n}^{2}=n+1-n=1 [/tex]
Donc
[tex]\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n} [/tex]
2.
[tex] \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+1}=\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{2}-1=\sqrt{3}-1 [/tex]
En procédant par itération on voit que
[tex]\frac{1}{\sqrt{2}+1}+...+\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}-1 [/tex]
Donc [tex] \sqrt{n+1}-1 \leq 100 [/tex]
⇔n≤101²-1=10200
Exercice 4 :
1.
ABCD est un rectangle de centre O et I le milieu de AB donc IO et BC sont // et IO=BC/2
On applique Thalès :
IO/BC=MI/MC=MO/MB=1/2
Donc MB=2*MO
BM+MO=BO=1/2*BD
donc BM+1/2*BM=1/2*BD
Soit 3/2*BM=1/2*BD ⇔BM/BD=1/3
2.
AEB est rectangle en E
Donc BA²=AE²+EB² or AE=EB=BC donc BA²=2BC²
BC²=BA²/2=(2BI)²/2=2BI²
BIC est rectangle en B donc
BI²+BC²=IC² soit 3BI²=IC²
Comme MI/MC=1/2 on a IC=3IM
Donc IC²=9IM² ⇔ 3BI²=9IM²
BD=3BM donc BD²=9BM²
Or BD²=BA²+BC²=4BI²+2BI²=6BI²
On a donc 6BI²=9BM² et 3BI²=9IM²
Donc 6BI²+3BI²=9BM²+9IM²
Soit 9BI²=9BM²+9IM² ⇔ BI²=BM²+IM²
D'après la réciproque de Pythagore, IMB est rectangle en M
