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Réponse :
sa devrait t'aider : Exemple :
Soit la fonction f définie sur ! par f (x) = x
2 .
Calculons le nombre dérivé de la fonction f en un nombre réel quelconque a.
Pour h ≠ 0 : f (a + h) − f (a)
h = (a + h)
2
− a
2
h = a
2 + 2ah + h2 − a
2
h = 2a + h
Or : lim
h→0
f (a + h) − f (a)
h = lim
h→0
2a + h = 2a
Pour tout nombre a, on associe le nombre dérivé de la fonction f égal à 2a.
On a donc défini sur ! une fonction, notée f ' dont l'expression est f '(x) = 2x .
Cette fonction s'appelle la fonction dérivée de f.
Le mot « dérivé » vient du latin « derivare » qui signifiait « détourner un
cours d’eau ».
Le mot a été introduit par le mathématicien franco-italien Joseph Louis
Lagrange (1736 ; 1813) pour signifier que cette nouvelle fonction dérive
(au sens de "provenir") d'une autre fonction.
Définitions : Soit f une fonction définie sur un intervalle I.
On dit que f est dérivable sur I si elle est dérivable en tout réel x de I.
Dans ce cas, la fonction qui à tout réel x de I associe le nombre dérivé de f en x est
appelée fonction dérivée de f et se note f '.
Formules de dérivation des fonctions usuelles :
Fonction f Ensemble de
définition de f
Dérivée f ' Ensemble de
définition de f '
f (x) = a , a ∈! ! f '(x) = 0 !
f (x) = ax , a ∈! ! f '(x) = a !
f (x) = x
2 ! f '(x) = 2x !
f (x) = xn
n ≥ 1 entier
! f '(x) = nxn−1 !
f (x) = 1
x
! \{0} f '(x) = − 1
x
2
! \{0}
f (x) = 1
xn
n ≥ 1 entier
! \{0} f '(x) = − n
xn+1
! \{0}
f (x) = x ⎡
⎣0;+∞⎡
⎣ f '(x) = 1
2 x
⎤
⎦0;+∞⎡
⎣
2
Explications étape par étape