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On considère dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation (E) d’inconnue z suivante :
z^3+(-8+i)z²+(17-8i)z+17i=0.

I. Résolution de l’équation (E).Montrer que -i est solution de (E).Déterminer les nombres réels a,b,c tels que :
z^3+(-8+i)z²+(17-8i)z+17i=(z+i)(z²+az+b).Résoudre l’équation (E) dans l’ensemble des nombres complexes.

Sagot :

Mozi
il faut noter que (-i)²=i²=-1 et que (-i)³=-1*(-i)=i
On a (-i)³+(-8+i)*(-i)²+(17-8i)(-i)+17i=i+(-8+i)*(-1)-17i+8i²+17i=i+8-i-17i-8+17i=0
-i est bien solution de l'équation.

(z+i)(z²+az+b)=z³+az²+bz+iz²+aiz+bi=z³+(a+i)z²+(b+ai)z+bi
a+i=-8+i ⇒ a=-8
b+ai=17-8i ⇒b=17-8i+8i=17

z³+(-8+i)z²+(17-8i)z+17i=0
⇔ (z+i)(z²-8z+17)=0
⇔(z+i)(z²-8z+16+1)=0
⇔ (z+i)((z-4)²-i²)=0
⇔ (z+i)(z-4+i)(z-4-i)=0
S={-i ; 4-i ; 4+i}
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