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Mimie851
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Bonsoir, j'ai un exercice en maths sur les suites qui me pose soucis :
On considère la suite (Un) définie par :





u0 = 0 et U(n+1) = (2un+3)/( Un+4) et on pose pour tout entier n : Vn = (Un-1)/(Un+3)
1)Démontrez que la suite (Vn) est géométrique.
J'ai donc fait ceci :
Vn+1 = (Un+1 - 1) / (Un+1 + 3)
Je remplace Un+1 par (2Un + 3) /(Un + 4), soit :
Vn+1=((2un+3)/(Un+4)-1)/((2Un+3)/(Un+4)+3)
Je sais qu'il faut trouver 1/5 en raison, mais je bloque pour le développement..

Sagot :

On y va par étapes
Déjà pour prouver que la suite vn est géométrique , il faut calculer le rapport vn+1/vn comme tu l'as bien démarré

On calcule d'abord vn+1
vn+1=(un+1)-1/(un+1)+3

On calcule (un+1)-1
=(2un)+3/(un)+4  - ( (un)+4)/(un)+4
=(2un)+3-un-4/(un)+4
=(un)-1/(un)+4      EXPRESSION1

On calcule (un+1)+3
=(2un)+3/(un)+4  +  3un+12/(un)+4
=5un+15/(un)+4
=5((un)+3))/(un)+4  EXPRESSION2

vn+1=expression1/expression2
=(un)-1/(un)+4    x    (un)+4/5((un)+3)
=(un)-1/5((un)+3)      EXPRESSION3

vn=(un)-1/(un)+3    EXPRESSION4

vn+1/vn=expression3/expression4
=(un)-1/5((un)+3)    x    (un)+3/(un)-1
=1/5

Voilà , j'espère que tu suivras bien les étapes
Si il y a un problème , je suis là:)
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