Réponse :
{U0 = 20 et V0 = 60
{∀n∈N, Un+1 = (2Un + Vn)/4 et Vn+1 = (Un+2Vn)/4
1) montrer que les suites (Un+Vn) et (Vn -Un) sont géométrique
(Un+1 + Vn+1)/(Un+Vn) = [(2Un + Vn)/4 + (Un + 2Vn)/4]/(Un+Vn)
= (2Un + Vn + Un + 2Vn)/4(Un+Vn)
= (3Un + 3Vn)/4(Un+Vn)
= 3(Un+Vn)/4(Un+Vn)
= 3/4
Donc la suite (Un+Vn) est géométrique de premier terme U0+V0 = 80 et de raison q = 3/4
(Vn+1 - Un+1)/(Vn - Un) = [(Un+2Vn)/4 - (2Un + Vn)/4]/(Vn-Un)
= (Un + 2Vn - 2Un - Vn)/4(Vn-Un)
= (Vn-Un)/4(Vn-Un)
= 1/4
la suite (Vn-Un) est géométrique de raison q = 1/4 et de premier terme
V0-U0 = 60- 20 = 40
2) exprimer Un+Vn et Vn-Un en fonction de n
Un + Vn = (U0+V0) x qⁿ donc Un + Vn = 80 x (3/4)ⁿ
et Vn - Un = 40 x 1/4ⁿ
3) en déduire l'expression de Un et de Vn en fonction de n
{Un + Vn = 80 x (3/4)ⁿ
{-Un + Vn = 40 x 1/4ⁿ
...................................................
2 Vn = 80 x (3/4)ⁿ + 40 x 1/4ⁿ ⇔ Vn = 40 x (3.4)ⁿ + 20 x 1/4ⁿ
Vn = 20/4ⁿ( 2 x 3ⁿ + 1)
Un = 80 x (3/4)ⁿ - 40 x (3.4)ⁿ - 20 x 1/4ⁿ
= 40 x (3/4)ⁿ - 20 x 1/4ⁿ
= 20/4ⁿ x (2 x 3ⁿ - 1)
4) déterminer la limite de chacune des suites (Un) et (Vn)
m Un = lim 20/4ⁿ x (2 x 3ⁿ - 1) = lim 20 x (3/4)ⁿ(2 - 1/3ⁿ) = 0
n→+∞ n→ + ∞ n →+∞
Les deux suites (Un) et (Vn) tendent vers 0 quand n tend vers + ∞
Explications étape par étape :
