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Sagot :
Salut,
pour les premières questions, la fonction n'est évidemment pas affine. Lorsque tu la dérive, tu as : [tex]f'(x)=2e^{2x-9}-2 [/tex]
Tu peux alors facilement résoudre f'(x)>=0 :
[tex]2e^{2x-9}-2 \geq 0 [/tex] donc [tex]2e^{2x-9}\geq 2 [/tex] donc [tex]e^{2x-9}\geq 1 [/tex] donc [tex]2x-9\geq 0 [/tex] ce qui nous donne x > 9/2.
Ce qui signifie que la fonction est bien décroissante pour x < 4.5 mais devient croissante pour x > 4.5. Dans le cas de ton exercice, f est croissant puisque l'intervalle [-3, 3] se trouve avant 4.5.
Tu peux justifier que f n'est pas affine par le simple fait que sa variation n'est pas constante, ce qui est une fonction affine par définition (la dérivée doit être constante).
Pour la deuxième partie, tu dois faire un travail d'encadrement sur un intervalle. C'est très simple si tu arrives à visualiser ce qui se passe. Il y a beaucoup de façon de résoudre cette question mais il faut avoir un sens intuitif pour celle-ci. C'est à dire que même sans faire des calculs extrêmement rigoureux, tu dois pouvoir savoir comment t'y prendre.
La question est donc de considérer les expression 2x-9 puis e^(2x-9) pour les encadrer sur l'intervalle [-3,3]. Pour 2x-9, tu sais qu'il s'agit d'une fonction affine croissante. Donc si tu considères l'intervalle [-3,3] il est évident que 2x-9 sera inférieur à l'image du plus grand x de l'intervalle et supérieur à l'image du plus petit x, c'est à dire :
Pour tout x dans [-3,3] : 2*(-3)-9 < 2x-9 < 2*3-9
Donc -15 < 2x-9 < -3 et tu as même des égalités puisque l'intervalle est fermé :
-15 <= 2x-9 <= -3.
Pour encadrer e^(2x-9) il suffit de dire que la fonction exponentielle est croissante quoiqu'il arrive donc on conserve l'ordre des inégalités en appliquant la fonction. Si on applique la fonction exponentielle sur la précédente inégalité, on obtient donc :
e^(-15) <= e^(2x-9) <= e^(-3).
Tu as donc encadré les quantités voulues.
Pour la dernière question, tu dois étudier des positions relatives de représentation graphique. La même incontournable est donc de soustraire els expressions ce qui te donne l'expression de l'écart entre els deux représentations graphiques. Ici, c'est donc : e^(2x-9)
Comme tu as encadré cette quantité sur [-3,3], tu peux directement conclure en calculant à la calculatrice e^(-3) qui est bien inférieur à 0.05 unité.
pour les premières questions, la fonction n'est évidemment pas affine. Lorsque tu la dérive, tu as : [tex]f'(x)=2e^{2x-9}-2 [/tex]
Tu peux alors facilement résoudre f'(x)>=0 :
[tex]2e^{2x-9}-2 \geq 0 [/tex] donc [tex]2e^{2x-9}\geq 2 [/tex] donc [tex]e^{2x-9}\geq 1 [/tex] donc [tex]2x-9\geq 0 [/tex] ce qui nous donne x > 9/2.
Ce qui signifie que la fonction est bien décroissante pour x < 4.5 mais devient croissante pour x > 4.5. Dans le cas de ton exercice, f est croissant puisque l'intervalle [-3, 3] se trouve avant 4.5.
Tu peux justifier que f n'est pas affine par le simple fait que sa variation n'est pas constante, ce qui est une fonction affine par définition (la dérivée doit être constante).
Pour la deuxième partie, tu dois faire un travail d'encadrement sur un intervalle. C'est très simple si tu arrives à visualiser ce qui se passe. Il y a beaucoup de façon de résoudre cette question mais il faut avoir un sens intuitif pour celle-ci. C'est à dire que même sans faire des calculs extrêmement rigoureux, tu dois pouvoir savoir comment t'y prendre.
La question est donc de considérer les expression 2x-9 puis e^(2x-9) pour les encadrer sur l'intervalle [-3,3]. Pour 2x-9, tu sais qu'il s'agit d'une fonction affine croissante. Donc si tu considères l'intervalle [-3,3] il est évident que 2x-9 sera inférieur à l'image du plus grand x de l'intervalle et supérieur à l'image du plus petit x, c'est à dire :
Pour tout x dans [-3,3] : 2*(-3)-9 < 2x-9 < 2*3-9
Donc -15 < 2x-9 < -3 et tu as même des égalités puisque l'intervalle est fermé :
-15 <= 2x-9 <= -3.
Pour encadrer e^(2x-9) il suffit de dire que la fonction exponentielle est croissante quoiqu'il arrive donc on conserve l'ordre des inégalités en appliquant la fonction. Si on applique la fonction exponentielle sur la précédente inégalité, on obtient donc :
e^(-15) <= e^(2x-9) <= e^(-3).
Tu as donc encadré les quantités voulues.
Pour la dernière question, tu dois étudier des positions relatives de représentation graphique. La même incontournable est donc de soustraire els expressions ce qui te donne l'expression de l'écart entre els deux représentations graphiques. Ici, c'est donc : e^(2x-9)
Comme tu as encadré cette quantité sur [-3,3], tu peux directement conclure en calculant à la calculatrice e^(-3) qui est bien inférieur à 0.05 unité.
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