Je te remes tout à partir du 3) sur cette page
Il faut trouver le signe de fn(α(n+1))=2α(n+1)-2+√(α(n+1))/n
on sait que f(n+1)(α(n+1))=2α(n+1)-2+√(α(n+1))/(n+1)=0
les expressions de fn(α(n+1)) et f(n+1)(α(n+1)) sont identique pour
les deux premiers termes et diffèrent pour le troisième on va donc
étudier le signe de leur différence:
fn(α(n+1))-f(n+1)(α(n+1))=√(α(n+1))/n - √(α(n+1))/(n+1)
√(α(n+1))/n
est clairement strictement supérieur à √(α(n+1))/(n+1) puisqu'ils ont
même numérateur et que le dénominateur du 2ème est strictement supérieur
au dénominateur du premier. donc fn(α(n+1))>f(n+1)(α(n+1)) . De plus
comme f(n+1)(α(n+1))=0 alors fn(α(n+1))>0
4) a) fn(αn)=0 et fn(α(n+1))>0
donc fn(α(n+1))>fn(αn)
comme fn est croissante alors on déduite que α(n+1)>αn donc la suite est croissante.
Elle est croissante et majorée par 1 donc elle est convergente.
4)c)
2αn -2+√(αn)/n=0
donc 2αn=2-√(αn)/n
donc αn=1-√(αn)/n
0<αn<1
0<√(αn)<1
0<√(αn)/n<1/n
lim 1/n=0 quan n tend vers l'infini
lim 0 = 0
donc, d'aprè le th. des gendarmes lim √(αn)/n =0
donc lim 1-√(αn)/n = 1
donc lim αn=1
Ouf on y est arrivé!
