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Devoir maison de math pour demain

Merci d'avance. Exercice: On considère la fonction f définie sur R-(2) par f(x) = (2x² - 3x - 1) / (x-2) on appelle C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O ; i ; j ) 1)
a) Conjecturer les limites de f aux bornes de son ensemble de définition après avoir tracé la courbe C
b) Démontrer vos limites conjecturées et en déduire l'existence d'éventuelles asymptotes parallèles aux axes du repère.

2) En + infini et - infini la courbe C semble se rapprocher d'une droite D non parallèle aux axes du repère. Le but de cette question est de déterminer D et de justifier cette observation.
a) Déterminer les réels a,b et c tels que pour tout réel x différent de 2, f(x) = ax + b + c/x-2
b) On considère alors la droite D d'équation y = ax + b. Etudier les positions relatives de D et C.
c) Soit x un réel différent de 2, on appelle M et N les points d'abscisse x et situés respectivement sur C et D. Exprimer la distance MN en fonction de x suivant les valeurs de x

Sagot :

Mathieu38150
lim(x->2)f(x)=0 => x=2
il existe une asymptote oblique d'équation y=ax+b si et seulement silim(x->infini)(f(x)/x)=a et lim(x->infini)(f(x)-ax)=b
ici f(x)/x=(2x²-3x-1)/x(x-2)=(2x²-3x-1)/(x²-2x)=x²(2-3/x-1/x²)/x²(1-2/x)=(2-3/x-1/x²)/(1-2/x)
d'où lim(x->infini)(f(x)/x)=lim(x->infini)[(2-3/x-1/x²)/(1-2/x)]=(2-0-0)/(1-0)=2f(x)-2x=(2x²-3x-1)/(x-2)-2x=[(2x²-3x-1)-2x(x-2)]/(x-2)=(2x²-3x-1-2x²+4x)/(x-2)=(x-1)/(x-2)=x(1-1/x)/x(1-2/x)=(1-1/x)/(1-2/x)
d'où lim(x->infini)(f(x)-2x)=lim(x->infini)[(1-1/x)/(1-2/x)]=(1-0)/(1-0)=1/1=1
donc y=2x+1 est asymptote oblique en + ou - infini
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