1) (BH) est la hauteur issue de B dans le triangle ABC donc (BH) et (AC) sont perpendiculaires.
C est circonscrit au triangle ACD. Or son centre O est le milieu de AD puisque D est symétrique de A par rapport à O. Dans un triangle, si le centre du cercle circonscrit est le milieu d'un des côtés, alors ce triangle est rectangle.
Donc ACD est rectangle en C et (CD) et (AC) sont perpendiculaires.
(BH) et (CD) sont perpendiculaires à la même droite donc elles sont parallèles.
2) (CH) est la hauteur issue de C dans le triangle ABC donc (CH) et (AB) sont perpendiculaires.
C
est circonscrit au triangle ABD. Or son centre O est le milieu de AD
puisque D est symétrique de A par rapport à O.
Donc ABD est rectangle en B et (BD) et (AB) sont perpendiculaires.
(BD) et (CH) sont perpendiculaires à la même droite donc elles sont parallèles.
3) (BH)//(CD) et (BD)//(CD) donc BDCH est un parallélogramme.
Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu. Or I est le milieu de BC. Donc I est aussi le milieu de DH
4) [AI] est la médiane issue de A dans le triangle ABC. G est à l'intersection des médianes, c'est le centre de gravité donc G est tel que AG=2/3*AI
5) [AI] est la médiane issue de A dans le triangle AHD. Comme AG=2/3*AI, G est aussi le centre de gravité de AHD
6) La médiane issue de H dans AHD est [HO]
7) Les médianes sont concourantes donc [HO] et [AI] se coupent en G.
Donc G est sur [HO].
H, G et O sont donc alignés.
