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Bonjour je suis bloqué sur cette exo

On considère les équations différentielles suivantes définies sur ]0;+ infini[
(E) xy'-(2x +1)y = 8x^2
(E.) y'= 2y +8

1) Donner l'ensemble des solutions de l'équation (E0).

2) On pose f(x)= xg(x) pour x appartenant à ]0;+infini[.
Montrer que f est solution de (E) si et seulement si g est solution de (E0).

3)a) En déduire les solutions de l'équation (E).

b) Existe-t-il une solution de (E) dont la représentation graphique passe par le point A(1:0) ?Si oui,
indiquer cette fonction.

Sagot :

Croisierfamily

Réponse :

Explications étape par étape :

■ le point A donne :

   dans la première équation : y ' = 8

   donc y = 8x - 8

   reportons ceci dans la première équation :

          8x - (2x+1) * (8x - 8) = 8x²

   8x - 16x² + 16x -  8x + 8 = 8x²

                 - 16x² + 16x + 8 = 8x²

   divisons par 8 :

                    - 2x² + 2x + 1 = x²

                        3x² - 2x - 1 = 0

                     (x - 1) (3x + 1) = 0

   donc xA = 1   OU   xB = -1/3 .

   on retrouve bien l' abscisse du point A .

■ f(x) = 8x - 8 = x * g(x) donne g(x) = 8 - (8/x)

  g ' (x) = 8/x²

  la seconde équation devient alors :

  8 = 8 - (8/x) + (8/x)   vérifiée !

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