Réponse :
bonsoir un exercice classique avec une fonction ln
Explications étape par étape :
f(x)=(2-lnx)(lnx) et son Df ]0;+oo[
1a)si x tend vers 0+ f(x) tend vers -oo (lecture graphique)
si x tend vers 0 , lnx tend vers-oo donc
2-lnx tend vers +oo et f(x) tend vers(+oo)*(-oo)=-oo
b) limite en +oo
(2-lnx) tend vers -oo et lnx tend vers +oo donc f(x) tend vers (oo)*(+oo)=-oo
2) Dérivée f(x) est un produit u*v sa dérivée est u'v+v'u
u=2-lnx u'=-1/x
v=lnx v'=1/x
f'(x)=(-1/x)*lnx +(1/x)(2-lnx)=(1/x)(-lnx+2-lnx)=2(1-lnx)/x (donnée dans l'énoncé)
3)x étant >0 le signe de f'(x) dépend uniquement du signe de 1-lnx
1-lnx=0 pour x=e
Tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)
x 0 e +oo
f'(x) + 0 -
f(x) II -oo croi f(e) décroi -oo
f(e)=(2-1)*1=1
4a) les abscisses des points d'intersection de (Cf) avec l'axe des abscisses sont les solutions de f(x)=0
(2-lnx)*lnx=0 ce sont les solutions du produit
2-lnx=0 ou lnx=0
lnx=2 x=1
x=e²
solution xA=1 et xB=e²
b) le coefficient directeur de la tangente au point A est a=f'(xA) soit f'(1)
f'(1)=2(1-0)/1=2
équation de cette tangente y=f'(1)(x-1)+f(1)=2x-2+0
y=2x-2
