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une personne court le long d'un champ de longueur 100m; il part de A et doit se rendre le plus rapidement possible en B en coupant à travers le champ à partir d'un point M . Sachant qu'il court à la vitesse de 6m.s-1 sur la route mais seulement à 4m.s-1 dans le champ, déterminer la position du point M permettant de réaliser ce parcours dans un temps minimal. 

1. Modéliser le problème par une fonction 
On pose x=AM, avec x[0;100]. 
Déterminer en fonction de x le temps de parcours (en secondes) sur le trajet [AM] puis celui sur le trajet [MB], et enfin le temps de parcours sur le trajet complet. 
Est il possible, en l'état de vos connaissances, d'étudier de façon simple les variations de la fonction f obtenue? 

Sagot :

Isapaul
Bonjour 
D'après le lien fourni gentiment par Caylus 
on donne AM = x et MC = 100 mètres 
on en déduit que 
MC = 100 - x 
D'après le théorème de Pythagore 
MB² = MC² + BC² 
MB² = (100 - x)² + 20² 
MB² = 10 000 + x² - 200x + 400 
MB = √(x² - 200x + 10 400) 

comme la personne court à 6m.s-1 sur route et à 4m.s-1 à travers champ 
on en déduit que pour le même temps "t" il aura parcouru 
une distance sur route alors qu'il n'aura parcouru que les 2/3 de la même distance à travers champs 
En mettant au même dénominateur on obtient alors 
AM sera parcouru en 2x/12 
alors que  MB en 3√(x² - 200x + 10 400) / 12  
La distance totale sera parcourue en  
t(x) = t(AM) + t(MB) 
t(x) = 2x/12 + 3√(x² - 200x + 10400)/12 
t(x) = ( 2x + 3√(x²-200x + 10400)/12 
Voir pièce jointe pour le tracé de la fonction et le tableau de valeurs pour connaitre la distance "x" correspondante au temps minimum 
Bonnes journée
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