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(Un) est la suite définie pour tout entier naturel n par Un=-n²+11n²-7n+4


1)Donner une écriture développée de Un+1-Un
2) Démontrer que (Un) est monotone à partir d'un rang que l'on déterminera

Sagot :

Overjay
Un+1 = -(n+1)³+11(n+1)²-7(n+1) +4
         = - n³ - 3n² - 3n -1 + 11n² + 22n + 11 - 7n - 7 + 4
         = -n³ +8n² + 12n + 7
Un+1- Un = -n³ + 8n² + 12n +7+ n³-11n²+7n -4 = -3n² +19n +3
résoudre -3x² + 19x + 3 = 0
DELTA = 19² + 4.3.3 = 361 + 36  = 397 = 19.92²
x1 = ( -19 + 19.92) /-6 = 0.153
x2 = (- 19 - 19.92) / -6 =  6.48
donc Un+1 - Un est toujours du signe de a = -3 quand n > x2 soit n > 6
si n> 6 Un+1 < Un
donc (Un)  est décroisante dès n = 8 et au-dela
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