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On A1(x1;x2), A2(x2,y2), A3(x3;y3) trois points du plan R^3
On note O(0;0) l'origine
1) donner une condition pour que OA1A2A3 soit un parallèlogramme ([tex]\vec{OA_1}+\vec{OA_3}=\vec{OA_2}[/tex])
2) calculer son aire [tex]\sigma[/tex] ([tex]\sigma = \vec{OA_1}\wedge\vec{OA_3}=x_1y_3-x_3y_1[/tex])
3) Montrez que :
[tex]\sigma^2+(\vec{OA_1}.\vec{OA_3)}^2 = ||\vec{OA_1}||^2||\vec{OA_3}||^2[/tex]
j'ai essayé de développer mais je me retrouve avec un cosinus que je n'arrives pas à faire disparaître
Dans une base orthonormée, avec A1(x1;y1) et A3(x3;y3) on a : OA1.OA3=x1x3+y1y3 α²+(OA1.OA3)²=(x1y3-x3y1)²+(x1x3+y1y3)² α²+(OA1.OA3)²=x1²y3²-2x1y3x3y1+x3²y1²+x1²x3²+2x1x3y1y3+y1²y3² α²+(OA1.OA3)²=x1²(y3²+x3²)+y1²(x3²+y3²) α²+(OA1.OA3)²=(x1²+y1²).(x3²+y3²) Or IIOA1II²=x1²+y1² et IIOA3II²=x3²+y3² Donc α²+(OA1.OA3)²=IIOA1II².IIOA3II²
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