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Réponse :
Soit (Un) neN la suite definie, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1 , par: Un= (4n+1)/(1-5n) . Démontrer que (Un) neN est minoré par -5/4.
Soit la fonction [tex]f(x)=\frac{4x+1}{1-5x}[/tex] définie et dérivable sur [1; +∞[
On a [tex]u_n=f(n)\\[/tex]
Etudions les variations de f
[tex]f'(x)=\frac{4(1-5x)-(-5)(4x+1)}{(1-5x)^2} \\f'(x) = \frac{9}{(1-5x)^2}[/tex]
On remarque que f'(x) > 0 pour tout x de [1; +∞[ donc, par théorème, f est strictement croissante sur [1; +∞[
La suite (uₙ) a les mêmes variations que la fonction f.
La suite (uₙ) est donc croissante pour tout n ≥ 1.
Ainsi la suite est minorée par son premier terme u₁
[tex]u_1=\frac{4\times1 + 1 }{1-5\times 1} =-\frac{5}{4}[/tex]
(uₙ) est minorée par -5/4
2. Soit (un)neN la suite définie, pour tout entier naturel n, par : : Un+1 = ²/3 Un + 1/3 et u₁ = 1. Démontrer par récurrence que (un)neN est majorée par 4.
Soit la propriété Pn : Un ≤ 4
Initialisation :
U₀ = 1
donc u₀ ≤ 4
P₀ est vraie.
Hérédité :
Supposons la propriété vraie pour un entier naturel k soit Uk ≤ 4.
Montrons que Uk+1 ≤ 4
[tex]u_k\leq 4\\\frac{2}{3} u_k\leq \frac{8}{3} \\\frac{2}{3} u_k + \frac{1}{3} \leq \frac{8}{3} +\frac{1}{3} \\\\u_{k+1} \leq 3\leq 4[/tex]
Pk+1 est vraie
Conclusion : La propriété est vraie au rang initial et est héréditaire donc la suite (Un) est majorée par 4, pour tout n de N.