1a)
x 0,8 2,52 10
f(x) -4,3 croissant 5,22 décroissant -1,08
1b) Le bénéfice est maximal pour x0=2,52 soit 2.520 objets.
Le graphique est précis à 0,01 près en abscisse et ordonnée soit à 10 objets près en abscisse et 100 € en ordonnée.
1c) Le bénéfice maximal est 5,22x10.000=52.200 €
1d) Le bénéfice moyen par objet est de 52.200/2.520=20,71 €
2a) Pour 1.000 objets, x=1 donc f(1)=9-1-8/1²=9-1-8=0
Le bénéfice est nul pour 1.000 objets.
2b) La courbe coupe l'axe des abscisses une deuxième fois dans l'intervalle [0,8;10] donc il existe une autre quantité pour laquelle le bénéfice est nul.
2c) L'entreprise réalise des bénéfices pour une fabrication comprise entre 1000 et 8900 objets.
3a) Une primitive de f est F(x)=9x-x²/2+8/x+K avec K ∈ IR
3b) L'intégrale [tex] \int\limits^1_6 {f(x)} \, dx [/tex] représente l'aire comprise entre la courbe, l'axe des abscisse et les droites verticales x=0 et x=6.
Une unité d'aire représente le bénéfice moyen pour 1000 objets
3c) [tex] \int\limits^1_6 {f(x)} \, dx [/tex] = F(6)-F(1)=54-36/2+8/6-(9-1/2+8)
[tex] \int\limits^1_6 {f(x)} \, dx [/tex] =18+4/3-17+1/2=6/6+8/6+3/6=17/6
Donc la valeur moyenne du bénéfice pour la vente de 1.000 à 6.000 objets est de 17/30≈0,5667 soit 5667 €
