Exercice 169 Lignes de niveau
Comme je ne peux pas mettre les flèches je note les vecteurs ainsi : le vecteur GA noté vec(GA)
1. Soit G un point tel que 2vec(GA)+Vec(GB) = vec(0)
a. Montrer que vec(AG) = 1/3 vec(AB)
2vec(GA) + vec(GB) = vec(0)
or d'après la relation de Chasles vec(GB) = vec(GA) + vec(AB)
donc
2vec(GA) + vec(GA) + vec(AB) = vec(0)
3vec(GA) + vec(AB) = vec(0)
vec(AB) = -3vec(GA)
vec(AB) = 3vec(AG)
d'où
vec(AG) = 1/3 vec(AB)
c. Montrer que pour tout point M du plan : 2vec(MA)+vec(MB) = 3vec(MG)
La relation de Chasles nous permet d'écrire :
vec(MA) = vec(MG) + vec(GA)
vec(MB) = vec(MG) + vec(GB)
donc
2 vec(MA) + vec(MB) = 2[vec(MG) + vec(GA)] + [vec(MG) + vec(GB)]
2 vec(MA) + vec(MB) = 2vec(MG) + 2vec(GA) + vec(MG) + vec(GB)
2 vec(MA) + vec(MB) = 3vec(MG) + 2vec(GA) + vec(GB)
or 2vec(GA) + vec(GB) = vect(0) donner à la question a.
donc
2 vec(MA) + vec(MB) = 3vec(MG)
d. En déduire l'ensemble E1 des points M du plan tels que :
||2vec(MA)+vec(MB)|| = 6
comme 2 vec(MA) + vec(MB) = 3vec(MG) alors
||3vec(MG)|| = 6
3||vec(MG)|| = 6
||vec(MG)|| = 6/3 = 2
donc MG = 2
L'ensemble E1 dez points M est un cercle de centre G et de rayon 2.
2. Soit H un point tel que vec(HA)-4vec(HC) = vec(0)
a. Montrer que vec(AH) = 4/3 vec(AC)
vec(HA) - 4vec(HC) = vec(0)
or d'après la relation de Chasles
vec(HC) = vec(HA) + vec(AC)
donc
vec(HA) - 4vec(HC) = vec(0)
vec(HA) - 4[vec(HA) + vec(AC)] = vec(0)
vec(HA) - 4vec(HA) - 4vec(AC) = vec(0)
- 3vec(HA) - 4vec(AC) = vec(0)
-3vec(HA) = 4vec(AC)
or -3vec(HA) = 3vec(AH)
donc 3vec(AH) = 4vec(AC)
vec(AH) = 4/3 vec(AC)
c. Montrer que pour tout point M du plan :
vec(MA) - 4vec(MC) = -3vec(MH)
or d'après la relation de Chasles
vec(MA) = vec(MH) + vec(HA)
vec(MC) = vec(MH) + vec(MC)
donc
vec(MA) - 4vec(MC) = [vec(MH) + vec(HA)] - 4[vec(MH) + vec(MC)]
vec(MA) - 4vec(MC) = vec(MH) + vec(HA) -4vec(MH) -4vec(MC)
vec(MA) - 4vec(MC) = -3vec(MH) + vec(HA)-4vec(MC)
or vec(HA) - 4vec(HC) = vec(0) donner à la question a.
donc
vec(MA) - 4vec(MC) = -3vec(MH)
d. En déduire l'ensemble E2 des points M du plan tels que :
||2vec(MA)+vec(MB)|| = ||vec(MA)-4vec(MC)||
Or
||2vec(MA)+vec(MB)|| = ||3vec(MG)|| = 3MG (question 1.)
et
vec(MA) - 4vec(MC) = -3vec(MH) donc
||vec(MA)-4vec(MC)|| = ||-3vec(MH)|| = ||-3|| x ||vec(MH)|| (or valeur absolue de -3 (noté ||-3|| = 3)
||vec(MA)-4vec(MC)|| = 3||vec(MH)|| = 3MH
||2vec(MA)+vec(MB)|| = ||vec(MA)-4vec(MC)||
3MG = 3MH
M appatient à la médiatrice de [GH]
L'ensemble E2 des points M est la médiatrice du segment [GH].
pour les constructions voir schéma joint.
En Bleue E1 et en rouge E2
