Salut,
pour commencer, tu peux trouver les valeurs de m en résolvant l'équation :
[tex] \frac{x+1}{2+x} = 1-mx[/tex]
Pour tout x appartenant à R privé de {-2}, et pour tout m réel, cette équation est équivalente à :
[tex] x+1 = (1-mx)(x+2)[/tex] qui donne [tex]m x^{2} +2mx-1=0[/tex] pour tout x réel différent de -2 et pour tout réel m.
Cette équation admet une seule solution si le Δ est nul.
On a [tex]Delta=4m^{2}+4m=4m(m+1) [/tex]
Ainsi, les valeurs possibles de m sont 0 et -1.
Pour répondre à la question 2, il faut savoir en quel point ont lieu les intersections. On peut le déterminer en résolvant l'équation au dessus en utilisant le delta.
On a [tex] x=\frac{-2m}{2m}=-1 [/tex] qui n'est valable que si m est différent de 0.
On peut ensuite prouver que y=1-mx est la tangente à H pour le point considérer. Prenons le cas où m=-1.
Dans ce cas, on a dit que le point d'intersection serait x=-1. Calculons l'équation de la tangente à H en ce point :
[tex]T : y=f'(-1)(x+1)+f(-1) = x+1 [/tex] puisque f(-1)=0 et la dérivée de f nous donne : [tex]f'(x)= \frac{1}{(2+x)^{2} } [/tex]
Donc la tangente à H en -1 est y=x+1 et la droite qui nous est donné est : y=1-mx avec m=-1 on retrouve bien la même expression.
Nous avons aussi dit que m=0 était une solution ce qui signifie que y = 1 serait une tangente à H. En réalité il s'agit d'un cas très particulier car dans ce cas, la droite est une asymptote à H. Par définition il n'y a donc pas de contact et cela se voit lorsqu'on résout l'équation du second degré : pour le cas m=-1, on a dit qu'on trouvait le point de contact en calculant la solution [tex]x= \frac{-2m}{2m} [/tex] qui n'est pas définie lorsque m=0 car on ne peut pas diviser par 0.
Une bonne manière de s'en rendre compte et de tracer la courbe de H, il est évident que la seule tangente possible est celle en x=-1 avec m=-1.
Si tu as d'autres questions, n'hésite pas
