2) a)
f(x) =2 x³ - 3x² - 1
f(1) = 2* 1³ - 3*1² - 1 = -2 < 0
f(2) = 2 * 2³ - 3 *2² - 1 = +3 > 0
Donc, le valeur de f(x) se passe de valeurs negatifs aux valeurs positifs entre x = 1 et x = 2. ALors, f(x) doit etre egal a zero entre x = 1 et x = 2.
On observe que f '(x) = 6x² - 6x = 6x (x -1) > 0 entre x = 1 et x = 2. Par consequant, f(x) est toujours agrandissant dans x ∈ [1, 2].
2b)
x = 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0
f(x) = -1,968 -1,864 -1,676 -1,392 -1,0 -0,488 0,156 0,944 1,888 3
x = 1.62 1,65 1,66 1,67 1,68
f(x) = -0,37 -0,18 -0,118 -0,051 0,016
x = 1,672 1,675 1,677 1,6775
f(x) = -0,038 -0.,018 -0,0044 -0,0010
La solution α de f(x) = 0, est
1,7 -- a une place decimale
1,68 -- a la centieme
1,6775 - a la millieme
c)
f(x) = 2 x³ - 3 x² - 1
f(0) = -1 = negatif, f(1) = -2 = negatif
Si x ≤ 0, 2 x³ ≤ 0, et -3 x² ≤ 0 donc, f(x) est negatif pour x ∈ [-∞, 0 ]
f '(x) = 6 x² - 6 x = 6 x ( x - 1)
f '(x) = 0 pour x = 0 et x = 1.
f ' (x) ≥ 0 pour x < 0, f ' (x) ≤ 0, pour 0 ≤ x ≤ 1
f '(x) ≥ 0 pour x ≥ 1.
Donc, f(x) est negatif pour x ≤ 1, et f(x) = 0 pour x = 1,6775 .
f (x) > 0 pour x > 1,6775 , parce que f '(x) = 6 x ( x -1) > 0
La signe de f(x) , est negatif pour x < 1,6775 et positif pour x > 1,6775.
3)
[tex]g(x)=\frac{1-x}{1+x^3}\\\\g'(x)=\frac{(1+x^3)[\frac{d}{dx}(1-x)]-(1-x)[\frac{d}{dx}(1+x^3)]}{(1+x^3)^2}=\\\\g'(x)=\frac{(1+x^3)(-1)-(1-x)3x^2}{(1+x^3)^2}=\frac{2x^3-3x^2-1}{(1+x^3)^2}\\[/tex]
3b)
g(x) < 0 pour x < -1, parce que (1-x) > 0, et 1+x^3 < 0
g(x) >= 0 pour -1 < x < 1, parce que 1+x^3>0 et 1-x> 0
g(x) <0 pour x > 1 , parce que 1+x^3 > 0 et 1-x < 0
