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Bonjour j'aurais besoin d'aide pour résoudre cette exercice.
La suite de Fibonacci (Fn)n∈N est définie par : { F0 = 0 F1 = 1 Fn+2 = Fn+1 + Fn } ∀n ∈ N
1. Montrer que ∀n ∈ N, Fn ∈ N et que F 2 n+1 − FnFn+2 = (−1)n .
2. En dédure que Fn et Fn+1 sont premiers entre eux.
3. Soit n ∈ N ∗ , montrer que pour tout entier r, on a Fr+n = Fn−1Fr + FnFr+1.
4. En déduire que PGCD(Fn+r, Fn) = PGCD(Fn, Fr).
5. Montrer que ∀n, k, r ∈ N, on a PGCD(Fkn+r, Fn) = PGCD(Fn, Fr).
6. A l’aide de l’algorithme d’Euclide, montrer que : ∀n, m ∈ N,PGCD(Fn, Fm) = Fd avec d = PGCD(n, m).
7. Montrer que si Fn est premier, alors soit n = 4, soit n est un premier impair.
8. Vérifier que F8 est le premier terme divisible par 7. Justifier l’équivalence 7|Fn ⇐⇒ 7|Fpgcd(n,8). En déduire que 7 divise Fn si et seulement si n est un multiple de 8.
9. Déterminer les termes Fn divisibles par 4, puis tous les termes Fn divisibles par 28.
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