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Exercice le plus difficile plus difficile d'un devoirs maison de 1S, Bon Courage !

ABCD est un carrée de coté 4cm
Pour tout point M de [AB], on nomme I le point d'intersection de [DM] et [AC]
On note x la longueur de Am et A(x) l'aire totalr des triangles AMI et DCI

1) Démontrer que l'air totale des triangles DCI, AIM et IMB est constante
2) Expliquer pourquoi l'aire totale de DCI et AIM est minimale lorsque l'air du triangle IMB est maximale
3) Montrer que l'air du triangle IMB est donnée par la fonction B(x)=[tex]\frac{2(4x- x^{2} )}{x+4} [/tex] sur [0;4]
4) Etudier les variations de la fonction B
5) Justifier que l'aire de IMB est Maximale lorsque I est le point d'Intersection du cercle de centre C et de rayon CD avec le segment [AC]

Sagot :

Caylus
Bonjour,
Soit h la hauteur issue de I du triangle AIM.
1)
Aire DCI=4*(4-h)/2
Aire AIM=x*h/2
AIre MIB=(4-x)*h/2
Aire DCI+Aire AIM+ Aire MIB=1/2(16-4h+xh+4h-xh)=8
2) car si a+b+c=8 si c est min alors a+b est max.
3) voir dessin
4)
B(x)=2x(2-x)/(x+4)
1/2*B'(x)=((4-2x)(x+4)-(4x-x²) )/ (x+4)²
B'(x)=0 <=> x=-4-4V2 (à rejeter car x>=0) ou x=4V2-4
Je te laisse le soin du tableau des variations
5)
AI=4V2-4
Calcul de h: cos 45°=V2/2=h/(4V2-4)=>h=4-2V2
Or h/x=(4-h)/4=>x=4h/(4-h)=4*(4-2V2)/(4-(4-2V2))=4V2-4
(valeur que l'on trouve pour B'(x)=0


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