Je ne peut pas mettre les flèches sur les vecteurs alors je note le vecteur AB : AB, et ||AB|| signifie norme du vecteur AB. Sur le devoir tout doit avoir une flèche au-dessus.
On sait que :
(AB,AD) a pour mesure -π/2
(DC,DE) a pour mesure π/3
(BC,BF) a pour mesure π/3
1.a. Le triangle CDE est équilatéral donc (DC,DE) a pour mesure π/3 , (CD,CE) a pour mesure - π/3 et
(EC,ED) a pour mesure -π/3
b. Le triangle BCF est équilatéral donc (BC,BF) a pour mesure π/3, et (CB,CF) a pour mesure -π/3
et
ABCD est un carré donc (CD,CB) a pour mesure -π/2
or (CD,CE)+(CE,CB) = (CD,CB)
(CE,CB) = (CD,CB) - (CD,CE)
-π/2+π/3 = (-3+2)π/6 = -π/6
(CE,CB) a pour mesure -π/6
donc (CE,CF) = (CE,CB) + (CB,CF)
-π/6-π/3 = -3π/6 = -π/2
(CE,CF) a pour mesure -π/2
or ||EC|| = [[CF|| donc le triangle CEF est isocèle en C d'où (EF,EC) = (FE,FC) = (CE,CF)/2
(-π/2) / 2 = -π/4
(EF,EC) a pour mesure -π/4
c. On sait que ||EC|| = ||DC||= ||ED|| car le triangle CDE est équilatéral or ||AD|| = ||DC|| car ABCD est un carré donc ||ED||=||AD|| donc le triangle ADE est un triangle isocèle en D
et (CE,CB) a pour mesure -π/6 donc (DE,DA) a pour mesure π/6
donc
La somme des trois angle égale π
(EA,ED)+(AD,AE)+(DE,DA) = π
et (EA,ED)=(AD,EA)
donc
(AD,AE) = (π - π/6)/2
(AD,AE) = (6-1)π/12 = 5π/12
d'où
(ED,EA) a pour mesure -5pi/12
2. Les points A,E et F sont alignés si et seulement si (EF;EA) forme un angle π ou -π (angle plat)
(EF;EA) = (EF;EC) + (EC;ED) + (ED;EA)
π/4 -π/3 - 5π/12 = -3π/12 -4π/12 -5π/12 = -12π/12 = -π
(EF;EA) a pour mesure -π donc les point A, E et F sont alignés
