ABCD est un rectangle. => AB = CD et DA = BC.
On a AM = BN = CP = DQ
CN = BC - BN ; AQ = DA - DQ = BC - BN = CN
Dans les triangles rectangles CNP et AQM, la mesure de l'angle C = 90⁰ = la mesure de l'angle A. AQ = CN et CP = AM. Donc, les deux triangles sont congruents.
Alors, PN = QM.
Les triangles rectangles BNM et DQP sont congruents car BN = DQ, DP = BM et l'angle B et l'angle D sont les angles droits. Donc, MN = PQ.
Alors, car les cotés opposes sont égales, le quadrilatérale MNPQ est un parallélogramme.
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2)
Non. AB = 6 cm et BC = 8 cm
AM = x = BN = CP = DQ
0 <= AM <= AB et 0 <= BN <= BC
Donc, 0 <= AM ou BN <= 6 cm
x en [ 0 ; 6 cm ]
3)
L'aire de quadrilatérale = f(x) est maximum quand AM = x = 0. Car dans ce cas, le parallélogramme MNPQ sera égal au rectangle ABCD. Donc, le valeur maximum de f(x) = 48 cm².
4)
L'aire du triangle MAQ = 1/2 * AM * MQ = 1/2 * x (8 - x)
L'aire du triangle MBN = 1/2 * MB * BN = 1/2 (6 -x) x
f(x) = l'aire de MNPQ
= l'aire du rectangle ABCD - 2* l'aire du triangle MAQ - 2* l'aire du triangle MBN
= 6 * 8 cm² - x ( 8 - x) - (6 -x) x
= 48 - 8 x + x² - 6 x + x²
= 2 x² - 14 x + 48 = 2 (x² - 7 x + 24 ) 5)
5)
La fenêtre d'affichage: de x = 0 au x = 6 cm
7) f(x) = 24 = 2 x² - 14 x + 48
x² - 7 x + 12 = 0
=> (x -3) (x - 4) = 0
=> l’antécédent de 24 : x = 4 ou 3
f(x) = 36 = 2 x² - 14 x + 48
x² - 7 x + 6 = 0
=> (x -1 ) (x - 6) = 0
L’antécédent de 36 : x = 1 ou 6.
8)
f(x) est minimum. Quand le valeur de sa dérivée est 0.
la dérivée = 2* 2x - 14 = 2 (2 x - 7)
la dérivée est nulle quand x = 7/2 = 3,50 cm.
La fonction f(x) = l'aire de parallélogramme.
elle est minimum lorsque x = AM = 7/2 cm
L'aire minimale = 2 * (7/2)² - 14 * 7/2 + 48 = 49/2 - 1 = 23,5 cm²
