soit n ≤ x < n+1, n ∈ N l'ensemble des nombre entiers
=> E (x) = n
Soit x = n + r ou
soit [ x - E (x) ] = r , la partie décimale du x.
on sait que 0 ≤ r < 1
Donc, 0 ≤ r² < 1
Soit g(r) = r² , lorsque 0 ≤ r < 1
Quand 0 ≤ x < 1, E (x) = n = 0. et x = r , donc, f(x) = x² = f(r) = r²
C'est dans la forme d'un parabole, passant par l'origine, (1/2; 1/4) et (3/4 ; 9/16). La limite est le point A (1; 1), mais, la courbe ne touche pas A(1;1), car x < 1. On peut appeler la courbe C₁.
Quand 1 ≤ x < 2, E (x) = n = 1, x = 1 + r , ou 0 ≤ r < 1.
Donc, f(x) = 1 + r² = 1 + (x - 1)² = 1 + x² - 2 x + 1 = x² - 2 x + 2
La courbe C₂de f(x) est la courbe de x² - 2x + 2 pour 1 ≤ x < 2.
On peut dire aussi que, la courbe C₂ est la mémé que C₁, mais décalée vers le haut (dans le sens des ordonnées) par un montant 1.
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2) La definition de la fonction f(x) sans le symbole E(x), en [0 ; 2] est
f(x) = x² , 0 ≤ x < 1
= x² - 2 x + 2, 1 ≤ x < 2
On calcule le limite de f(x) par les deux expressions au dessus, quand x s'approche 1.
[tex] \lim_{x \to 1^-} x^2=1,\ \ \ \lim_{x \to 1^+} (x^2-2x+2)=1-2+2=1\\[/tex]
On sait que les fonctions polynomiales x², et x² - 2x + 2 sont continues dans les zones des leurs définitions.
Car les deux limites sont égales, f(x) est continue en [0 ; 2].
