je vais utiliser le sigle ^ pour "puissance"
B. g(x)=5e^(-x)-3e^(-2x)
g '(x)=-5e^(-x)+6e^(-2x)
=e^(-x)(-5+6e^(-x))
e^(-x) est toujours positif donc le signe de g '(x) est celui de -5+6e^(-x)
x 0 (ln6-ln5) +oo
g '(x) 1 + 0 -
g(x) 2 croiss 2,083 décroiss
donc entre o et +oo , g(x) croît de 2 à 2,083 et décroît de 2,083 à 0
donc g(x) n'a que des valeurs positives
2.Les points d'intersection de Cf et D répondent à :
5e^(-x)-3e^(-2x)+x-3=x-3
5e^(-x)-3e^(-2x)=0
e^(-x)(5-3e^(-x))=0
e^(-x)=0 ou 5-3e^(-x)=0
e^(-x)=0 IMPOSSIBLE
donc une solution : 3e^(-x)=5
donc e^(-x)=5/3
donc e^x=3/5
donc x=ln(3/5)=ln3-ln5
donc y=ln3-ln5-3
donc le point d'intersection a pour coordonnées (ln3-ln5 ; ln3-ln5-3)
3. f(x)=5e^(-x)-3e^(-2x)+x-3
D a pour équation y=x-3
pour comparer les positions de Cf et de D , on regarde le signe de la différence de leurs expressions , soit:
5e^(-x)-3e^(-2x)+x-3-x+3=5e^(-x)-3e^(-2x)=g(x)
g(x) positif sur (0; ln6-ln5) donc expression de f - expression de D positif sur cet intervalle donc Cf au dessus de D sur cet intervalle
Et donc Cf en dessous de D sur (ln6-ln5;+oo(
4. f(x)-(x-3)=g(x)
limite de g(x) =0 quand x tend vers +oo
donc limite de f(x)-(x-3)=0 quand x tend vers +oo
donc la droite d'équation y=x-3 est asymptôte oblique à Cf
