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Exercice 2 Pour tout entier naturel n non nul, on considère la fonction numérique fn définie sur [0:1] par : In (x) = x^n- (1 - x)^2. 1. Dans cette question, l'entier n est fixé. a) La fonction fn est-elle strictement monotone ? b) Montrer qu'il existe un unique an E]0,1[ tel que : fn (an) = 0. c) Quel est le signe de fn+1(an)? 2. On considère la suite de terme général (an)nz1. a) Montrer à l'aide de la question précédente que la suite (an)nz1 est croissante. b) En déduire que la suite est convergente. On notera a sa limite. c) On Suppose que: a < 1. i) Montrer alors que : lim (an) = 0. n-to ii) Déduire alors la valeur de a.​

Sagot :

Mariyettttte

Réponse:

1. a) Pour montrer si la fonction \(f_n\) est strictement monotone, il faut examiner le signe de sa dérivée sur l'intervalle \([0,1]\). b) Utilisez le théorème des valeurs intermédiaires pour prouver l'existence et l'unicité de \(a_n\) tel que \(f_n(a_n) = 0\). c) Déterminez le signe de \(f_{n+1}(a_n)\) en fonction de \(f_n(a_n)\).

2. a) En utilisant les résultats de la question précédente, montrez que la suite \((a_n)_{n\geq 1}\) est croissante. b) Puisque la suite est croissante et bornée, elle est convergente. Notez \(a\) comme la limite. c) Si \(a < 1\), montrez que \(\lim_{n\to\infty} a_n = 0\) et déduisez la valeur de \(a\).

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