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Sagot :
Réponse :
En 2019, Laurence a acheté un verger de 14 hectares de
pommiers. Elle estime qu'il y a 300 pommiers par hectare.
Chaque année, Laurence élimine 4 % des pommiers exis-
tants et replante 22 nouveaux pommiers par hectare. Pour
tout entier naturel n, on note (u) le nombre de pommiers par
hectare lors de l'année 2019 + n.
1.a. Calculer u1 et u2.
u1 = 300 - 300 x 0.04 + 22 = 310
u2 = 310 - 310 x 0.04 + 22 = 319.6 ≈ 320
b. Justifier que, pour tout entier naturel n, on a :
un+1 = 0,96Un +22.
un+1 = un - un x 0.04 + 22 = (1 - 0.04)un +22 = 0.96un + 22
2. Déterminer l'expression de Un en fonction de n.
SOIT k = 0.96 k + 22 ⇔ k - 0.96k = 22 ⇔ k x 0.04 = 22
d'où k = 22/0.04 = 550
soit la suite (vn) définie pour tout n ∈ N , par vn = un - 550
et montrons que (vn) est une suite géométrique de raison q = 0.96
vn+1 = un+1 - 550
= 0.96un + 22 - 550
= 0.96un - 528 or un = vn + 550
= 0.96(vn + 550) - 528
= 0.96vn + 528 - 528
Donc vn+1 = 0.96vn est une suite géométrique de raison q = 0.96 et de premier terme v0 = u0 - 550 = 300 - 550 = - 250
donc vn = v0 x qⁿ = - 250 x 0.96ⁿ
donc un = vn + 550 = - 250 x 0.96ⁿ + 550
3. Estimer le nombre de pommiers par hectare, arrondi à l'unité, en 2026.
u7 = - 250 x 0.96⁷ + 550 ≈ 362
4. Déterminer, à l'aide de la calculatrice, à partir de quelle année la densité de pommiers par hectare dépassera 400 pommiers.
- 250 x 0.96ⁿ + 550 > 400
0.96ⁿ < 0.6
n > ln0.6/ln0.96
n > 12.5 soit n = 13 ans
2019 + 13 = 2029
Donc à partir de 2029 QUE la densité des pommiers dépassera les 400 pommiers
Explications étape par étape :
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