Bonjour ,
Erreur dans l'énoncé :
D=]-∞;-3/2[ U ]-3/2;+∞[
OK ?
1)
g(x) est dérivable comme somme d'une fct linéaire et d'une fct inverse toutes deux dérivables sur le domaine de définition D.
(x/4) ' =1/4
La dérivée de 2/u est -2u'/u².
Ici :
u=2x+3 donc u'=2
(2/(2x+3)) ' =-2*2/(2x+3)²=-4/(2x+3)²
Donc :
g '(x)=1/4 - 4/(2x+3)²
On réduit au même dénominateur qui est : 4(2x+3)²
g '(x)=[(2x+3)²-4*4] / (2x+3)²
g '(x)=(4x²+12x+9-16] / 4(2x+3)²
g '(x)=(4x²+12x-7)/ 4(2x+3)²
On divise chaque terme du numérateur pas "4" pour faire disparaître le "4" du dénominateur :
g '(x)=(4x²/4 +12x/4 -7/4) / (2x+3)²
g '(x)=(x²+3x-7/4) / (2x+3)²
2)
g '(x) est donc du signe de (x²+3x-7/4) qui est < 0 entre ses racines car le coeff de x² est positif.
Racines :
Δ=3²-4(1)(-7/4)=16
√16=4
x1=(-3-4)/2=-7/2
x2=(-3+4)/2=1/2
Tableau de signes :
x---------->-∞.........................-7/2........................-3/2.......................1/2...................+∞
g '(x)---->...............+................0.............-..............||...........-................0...........+..........
3)
On calcule g(-7/2) et g(1/2) pour le tableau de variation .
g(-7/2)=-1.375=-11/8
g(1/2)=0.875=5/8
x---------->-∞.........................-7/2........................-3/2.......................1/2...................+∞
g '(x)---->...............+................0.............-..............||...........-................0...........+..........
g(x)------>...........C...................-11/8.......D.............||.........D..............5/8..........C......
C=flèche vers le haut et D=flèche vers le bas.
