Réponse :
Bonjour
Partie A
1) 50 - 10% × 50 = 50 - 5 = 45 €
2) 16 000 + 2 × 10% × 16 000 = 16 000 + 3 200 = 19 200 entrées
3) 19 200 × 45 = 864 000 €
Partie B
1) f(-50) = -160×(-50)² + 8000×(-50) + 800 000
= -400 000 - 400 000 + 800 000
= 0
f(100) = -160×100² + 8 000×100 + 800 000
= -1 600 000 + 800 000 + 800 000
= 0
-50 et 100 sont donc bien racines de f(x)
La fonction atteint alors son extremum pour x = (-50 + 100)/2 = 25
2) L'extremum est atteint en x = 25 , et cet extremum est ici un maximum car le coefficient devant x² (-160) est négatif.
La fonction f est donc croissante sur [0 ; 25] , et décroissante sur [25 ; 100]
3) Le nouveau prix se calcule par :
50 - x% × 50 = 50 - (x/100) × 50 = 50 - 50x/100 = 50 - 0,5x
4) Le nouveau nombre d'entrée s'obtient par :
16 000 + 2x% × 16 000 = 16 000 + 32 000x/100 = 16 000 + 320x
5) Le CA se calcule en effectuant le produit du nombre d'entrées par le prix d'un entrée.
Ici on obtient donc :
(16 000 + 320x)(50 - 0,5x) = 800 000 - 8 000x + 16 000 x - 160x²
= -160x² + 8 000x + 800 000
= f(x)
6) Le CA étant modélisé par la fonction f, le CA maximal est atteint lorsque f atteint son extremum, donc pour x = 25
C'est donc en réduisant le prix du billet de 25% que le parc atteindra so CA maximal
7) f(25) = -160×25² + 8 000×25 + 800 000
f(25) = -100 000 + 200 000 + 800 000
f(25) = 900 000
Le CA maximal est donc de 900 000 €
