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Bonjour ,
1)
g(x)=x/4 + 2/(2x+3)
g(x) est dérivable comme somme d'une fct linéaire et d'une fct inverse toutes les deux dérivables sur D.
La dérivée de x/4 est 1/4.
Pour la dérivée de 2/(2x+3) , on sait que la dérivée de 1/u est -u'/u².
Donc la dérivée de 2/u est -2u'/u².
Ici u=2x+3 donc u'=2
(2/(2x+3)) ' =-2*2/(2x+3)²=-4/(2x+3)²
Donc :
g '(x)=1/4 - 4/(2x+3)²
On réduit au même dénominateur qui est : 4(2x+3)²
g '(x)=[1(2x+3)²-4*4] / 4(2x+3)²
g '(x)=(4x²+12x+9-16) / 4(2x+3)²
g '(x)=(4x²+12x-7)/4(2x+3)²
On va diviser chaque terme du numérateur par le 4 qui est au dénominateur :
g '(x)=(4x²/4 + 12x/4 -7/4) / -2x+3)²
g '(x)=(x²+3x-7/4)/(2x+3)²
2)
g '(x) est donc du signe de (x²+3x-7/4) qui est < 0 entre ses racines car le coeff de x² est positif.
Racines :
Δ=3²-4(1)(-7/4)=9+7=16
√16=4
x1=(-3-4)/2=-7/2
x2=(-3+4)/2=1/2
g '(x) est donc < 0 sur ]-7/2;-3/2[ U ]-3/2;1/2[
et g '(x) > 0 sur ]-∞;-7/2[ U ]1/2;+∞[
3)
x------->-∞...............-7/2...........-3/2.............1/2.................+∞
g '(x)-->..........+...........0......-.......||.......-.........0........+.........
g(x)----->........C.........?.....D........||.......D.......?.......C........
C=flèche qui monte et D=flèche qui descend.
La calculatrice donne g(-7/2)=-11/8 et g(1/2)=7/8
