Réponse :
1. **Faire une figure :**
- Dans un triangle isocèle ABC en A, tracez la hauteur AH depuis A jusqu'à la base BC, formant ainsi un angle droit avec BC.
2. **Construire le point D :**
a. Tracez une droite parallèle à BC passant par A, et marquez un point D sur cette droite tel que AD soit égal à la somme des longueurs AB et AC.
b. **Conjecture sur la nature de ABCD :**
En observant la construction, on peut conjecturer que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme.
3. **Démontrer la conjecture :**
a. **Justifier l'égalité \(AB=AH+HB\) :**
Dans le triangle rectangle ABH (rectangle en H), selon le théorème de Pythagore, on a \(AB^2 = AH^2 + HB^2\). En prenant la racine carrée des deux côtés, on obtient \(AB = \sqrt{AH^2 + HB^2}\). Puisque AB est positif, on peut affirmer que \(AB = AH + HB\).
b. **Égalité analogue pour le vecteur AC :**
De manière similaire, on peut montrer que \(AC = AH + HC\), où HC est la distance d'H à C.
c. **En déduire que \(AB+AC=2AH\) :**
En additionnant les deux équations précédentes, on a \(AB + AC = (AH + HB) + (AH + HC)\). Simplifiant cette expression, on obtient \(AB + AC = 2AH + (HB + HC)\).
d. **Nature du quadrilatère ABDC :**
Puisque HB + HC est la longueur de la base BC, l'équation simplifiée devient \(AB + AC = 2AH + BC\). Cela suggère que ABDC est un parallélogramme, car les côtés opposés sont égaux (AB = DC et AC = BD). Ainsi, la conjecture sur la nature du quadrilatère ABCD est démontrée.
Explications étape par étape :
